Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(5sinx+6sin2x+5sin3x+sin4x=0\)

Ответ

NaN

Решение № 22116:

Конечно, давайте решим уравнение \(5\sin x + 6\sin 2x + 5\sin 3x + \sin 4x = 0\) пошагово.

1. Используем формулы для синуса кратных углов:
   • \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\)
   • \(\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x\)
   • \(\sin 4x = 4\sin x \cos x (2\cos^2 x - 1)\)
2. Подставляем эти формулы в уравнение: \[ 5\sin x + 6(2\sin x \cos x) + 5(3\sin x - 4\sin^3 x) + 4\sin x \cos x (2\cos^2 x - 1) = 0 \]
3. Упрощаем выражение: \[ 5\sin x + 12\sin x \cos x + 15\sin x - 20\sin^3 x + 4\sin x \cos x (2\cos^2 x - 1) = 0 \]
4. Объединяем подобные члены: \[ 20\sin x + 12\sin x \cos x - 20\sin^3 x + 8\sin x \cos x \cos^2 x - 4\sin x \cos x = 0 \]
5. Группируем члены, содержащие \(\sin x\): \[ \sin x (20 + 12\cos x - 20\sin^2 x + 8\cos^3 x - 4\cos x) = 0 \]
6. Факторизуем выражение: \[ \sin x (20 + 8\cos^3 x - 20\sin^2 x + 8\cos x - 4\cos x) = 0 \]
7. Рассматриваем два случая:
   • \(\sin x = 0\)
   • \(20 + 8\cos^3 x - 20\sin^2 x + 8\cos x - 4\cos x = 0\)
8. Решаем \(\sin x = 0\): \[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]
9. Решаем \(20 + 8\cos^3 x - 20\sin^2 x + 8\cos x - 4\cos x = 0\): \[ 20 + 8\cos^3 x - 20(1 - \cos^2 x) + 4\cos x = 0 \] \[ 20 + 8\cos^3 x - 20 + 20\cos^2 x + 4\cos x = 0 \] \[ 8\cos^3 x + 20\cos^2 x + 4\cos x = 0 \] \[ 4\cos x (2\cos^2 x + 5\cos x + 1) = 0 \]
10. Решаем \(\cos x = 0\): \[ x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]
11. Решаем \(2\cos^2 x + 5\cos x + 1 = 0\): \[ \Delta = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17 \] \[ \cos x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4} \] Эти значения не принадлежат области значений косинуса \([-1, 1]\), поэтому решений нет.

Ответ: \(x = n\pi\) и \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\), где \(n \in \mathbb{Z}\)