Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sinx=2sin^{2}\frac{x}{2}\)

Ответ

NaN

Решение № 22105:

Для решения уравнения \( \sin x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \) выполним следующие шаги: 1. **Используем формулу двойного угла для синуса:** \[ \sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \] 2. **Подставляем эту формулу в исходное уравнение:** \[ 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \] 3. **Сокращаем оба члена уравнения на 2:** \[ \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin^2 \frac{x}{2} \] 4. **Выносим \(\sin \frac{x}{2}\) за скобки:** \[ \sin \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) = 0 \] 5. **Рассматриваем два случая:** - **Случай 1: \(\sin \frac{x}{2} = 0\):** \[ \frac{x}{2} = \pi k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = 2 \pi k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] - **Случай 2: \(\cos \frac{x}{2} = \sin \frac{x}{2}\):** \[ \cos \frac{x}{2} = \sin \frac{x}{2} \] \[ \tan \frac{x}{2} = 1 \] \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n \quad \text{где} \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n \quad \text{где} \quad n \in \mathbb{Z} \] 6. **Объединяем решения:** \[ x = 2 \pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n \quad \text{где} \quad k, n \in \mathbb{Z} \] ### Ответ: \[ x = 2 \pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n \quad \text{где} \quad k, n \in \mathbb{Z} \]