Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(cos\frac{x}{2}cos\frac{3x}{2}-sinxsin3x-sin2xsin3x=0.\) Число корней на \([0; \pi ]\)
Ответ
NaN
Решение № 22119:
Решим уравнение \( \cos\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2} - \sin x \sin 3x - \sin 2x \sin 3x = 0 \) на промежутке \([0; \pi]\) пошагово.
```html
- Используем тригонометрические тождества для преобразования уравнения:
\[
\cos\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2} = \frac{1}{2} \left( \cos 2x + \cos x \right)
\]
\[
\sin x \sin 3x = \frac{1}{2} \left( \cos 2x - \cos 4x \right)
\]
\[
\sin 2x \sin 3x = \frac{1}{2} \left( \cos x - \cos 5x \right)
\]
- Подставляем эти тождества в исходное уравнение:
\[
\frac{1}{2} \left( \cos 2x + \cos x \right) - \frac{1}{2} \left( \cos 2x - \cos 4x \right) - \frac{1}{2} \left( \cos x - \cos 5x \right) = 0
\]
- Упрощаем выражение:
\[
\frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \cos x - \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \cos 4x - \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} \cos 5x = 0
\]
\[
\frac{1}{2} \cos 4x + \frac{1}{2} \cos 5x = 0
\]
\[
\cos 4x + \cos 5x = 0
\]
- Используем формулу суммы косинусов:
\[
\cos 4x + \cos 5x = 2 \cos \left( \frac{4x + 5x}{2} \right) \cos \left( \frac{4x - 5x}{2} \right)
\]
\[
= 2 \cos \left( \frac{9x}{2} \right) \cos \left( \frac{-x}{2} \right)
\]
\[
= 2 \cos \left( \frac{9x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0
\]
- Раскладываем на множители:
\[
\cos \left( \frac{9x}{2} \right) = 0 \quad \text{или} \quad \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0
\]
- Решаем первое уравнение \(\cos \left( \frac{9x}{2} \right) = 0\):
\[
\frac{9x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{9}
\]
На промежутке \([0; \pi]\) решения:
\[
x = \frac{\pi}{9}, \frac{3\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}
\]
- Решаем второе уравнение \(\cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0\):
\[
\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = \pi + 2k\pi
\]
На промежутке \([0; \pi]\) решение:
\[
x = \pi
\]
- Объединяем все решения:
\[
x = \frac{\pi}{9}, \frac{3\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \pi
\]
Ответ: 5 корней на промежутке \([0; \pi]\)
```