Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cosx(sinx+cosx)=1\)

Ответ

NaN

Решение № 22113:

Конечно, давайте решим уравнение \( \cos x (\sin x + \cos x) = 1 \) пошагово:

1. Запишем исходное уравнение: \[ \cos x (\sin x + \cos x) = 1 \]
2. Раскроем скобки: \[ \cos x \sin x + \cos^2 x = 1 \]
3. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \): \[ \cos x \sin x + \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x \]
4. Перенесём \( \cos^2 x \) в правую часть уравнения: \[ \cos x \sin x = \sin^2 x \]
5. Вынесем общий множитель \( \sin x \): \[ \cos x \sin x - \sin^2 x = 0 \]
6. Заметим, что \( \sin x \) можно вынести за скобки: \[ \sin x (\cos x - \sin x) = 0 \]
7. Рассмотрим два случая:
   • \( \sin x = 0 \): \[ x_1 = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
   • \( \cos x = \sin x \): \[ \tan x = 1 \] \[ x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x_1 = \pi k, \quad x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z} \)