Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin2xsin6x-\sqrt{3}sin3xcos8x=cos2xcos6x\)

Ответ

NaN

Решение № 22110:

Для решения уравнения \( \sin 2x \sin 6x - \sqrt{3} \sin 3x \cos 8x = \cos 2x \cos 6x \), выполним следующие шаги:

1. Перепишем уравнение для удобства: \[ \sin 2x \sin 6x - \sqrt{3} \sin 3x \cos 8x = \cos 2x \cos 6x \]
2. Используем формулу произведения синусов: \[ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos (A - B) - \cos (A + B)] \] Применим её к \(\sin 2x \sin 6x\): \[ \sin 2x \sin 6x = \frac{1}{2} [\cos (2x - 6x) - \cos (2x + 6x)] = \frac{1}{2} [\cos (-4x) - \cos 8x] = \frac{1}{2} [\cos 4x - \cos 8x] \]
3. Используем формулу произведения косинусов: \[ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A + B) + \cos (A - B)] \] Применим её к \(\cos 2x \cos 6x\): \[ \cos 2x \cos 6x = \frac{1}{2} [\cos (2x + 6x) + \cos (2x - 6x)] = \frac{1}{2} [\cos 8x + \cos (-4x)] = \frac{1}{2} [\cos 8x + \cos 4x] \]
4. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: \[ \frac{1}{2} [\cos 4x - \cos 8x] - \sqrt{3} \sin 3x \cos 8x = \frac{1}{2} [\cos 8x + \cos 4x] \]
5. Умножим обе части уравнения на 2 для упрощения: \[ \cos 4x - \cos 8x - 2\sqrt{3} \sin 3x \cos 8x = \cos 8x + \cos 4x \]
6. Перенесём все члены с \(\cos 8x\) в одну сторону уравнения: \[ \cos 4x - \cos 8x - 2\sqrt{3} \sin 3x \cos 8x - \cos 8x - \cos 4x = 0 \] \[ -2 \cos 8x - 2\sqrt{3} \sin 3x \cos 8x = 0 \]
7. Вынесем \(\cos 8x\) за скобки: \[ \cos 8x (1 + \sqrt{3} \sin 3x) = 0 \]
8. Рассмотрим два случая:
   • \(\cos 8x = 0\): \[ 8x = \frac{\pi}{2} + \pi k \quad \text{где } k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8} = \frac{\pi}{16} (2k + 1) \]
   • \(1 + \sqrt{3} \sin 3x = 0\): \[ \sin 3x = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \] \[ 3x = \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 2\pi n \quad \text{или} \quad 3x = \pi - \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 2\pi n \quad \text{где } n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{1}{3} \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \frac{2\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x = \frac{1}{3} \left(\pi - \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right) + \frac{2\pi n}{3} \]

Ответ: \[ x = \frac{\pi}{16} (2k + 1) \quad \text{или} \quad x = \frac{1}{3} \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \frac{2\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x = \frac{1}{3} \left(\pi - \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right) + \frac{2\pi n}{3} \]