Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos[\pi (x-8,5)]=2sin\left [ \frac{\pi }{2}(x-14) \right ]\)

Ответ

NaN

Решение № 22120:

Конечно, давайте решим уравнение \( \cos[\pi (x-8.5)] = 2 \sin\left[ \frac{\pi}{2}(x-14) \right] \) пошагово. ```html

1. Перепишем уравнение в более удобной форме: \[ \cos[\pi (x-8.5)] = 2 \sin\left[ \frac{\pi}{2}(x-14) \right] \]
2. Используем свойство синуса и косинуса: \[ \cos[\pi (x-8.5)] = \cos\left[\pi x - \frac{17\pi}{2}\right] \] и \[ 2 \sin\left[ \frac{\pi}{2}(x-14) \right] = 2 \sin\left[ \frac{\pi x}{2} - 7\pi \right] \]
3. Симплифицируем аргументы тригонометрических функций: \[ \cos\left[\pi x - \frac{17\pi}{2}\right] = \cos\left[\pi x - \frac{\pi}{2}\right] \] и \[ 2 \sin\left[ \frac{\pi x}{2} - 7\pi \right] = 2 \sin\left[ \frac{\pi x}{2} \right] \]
4. Теперь уравнение выглядит так: \[ \cos\left[\pi x - \frac{\pi}{2}\right] = 2 \sin\left[ \frac{\pi x}{2} \right] \]
5. Используем тригонометрическое тождество для косинуса: \[ \cos\left[\pi x - \frac{\pi}{2}\right] = \sin\left[\pi x\right] \]
6. Подставляем это в уравнение: \[ \sin\left[\pi x\right] = 2 \sin\left[ \frac{\pi x}{2} \right] \]
7. Рассмотрим два случая:
   1. Случай 1: \(\sin\left[\pi x\right] = 0\)
   2. Случай 2: \(\sin\left[\pi x\right] = 2 \sin\left[ \frac{\pi x}{2} \right]\)
8. Случай 1: \(\sin\left[\pi x\right] = 0\) \[ \pi x = k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = k \]
9. Случай 2: \(\sin\left[\pi x\right] = 2 \sin\left[ \frac{\pi x}{2} \right]\) \[ \sin\left[\pi x\right] = 2 \sin\left[ \frac{\pi x}{2} \right] \] Это уравнение не имеет решений, так как синус не может быть равен удвоенному значению своего полупериода.
10. Таким образом, решение уравнения: \[ x = k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = k \) где \( k \in \mathbb{Z} \)

``` Таким образом, решение уравнения \( \cos[\pi (x-8.5)] = 2 \sin\left[ \frac{\pi}{2}(x-14) \right] \) — это \( x = k \) где \( k \in \mathbb{Z} \).