Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(tg5x=sin^{2}xtg5x\)

Ответ

NaN

Решение № 22095:

1. Выпишем исходное уравнение: \[ \operatorname{tg} 5x = \sin^2 x \operatorname{tg} 5x \]
2. Перенесем все члены в одну сторону: \[ \operatorname{tg} 5x - \sin^2 x \operatorname{tg} 5x = 0 \]
3. Вынесем общий множитель \(\operatorname{tg} 5x\): \[ \operatorname{tg} 5x (1 - \sin^2 x) = 0 \]
4. Рассмотрим два случая:
   1. Первый случай: \(\operatorname{tg} 5x = 0\).
   2. Второй случай: \(1 - \sin^2 x = 0\).
5. Решаем первый случай: \(\operatorname{tg} 5x = 0\).
6. Зная, что \(\operatorname{tg} \theta = 0\), если \(\theta = k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\): \[ 5x = k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{k\pi}{5} \]
7. Решаем второй случай: \(1 - \sin^2 x = 0\).
8. Зная, что \(\sin^2 x = 1\), если \(\sin x = \pm 1\): \[ \sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = -1 \]
9. Решаем \(\sin x = 1\): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z} \]
10. Решаем \(\sin x = -1\): \[ x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]
11. Проверяем, удовлетворяют ли найденные решения исходному уравнению: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2m\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi \] Эти решения не удовлетворяют исходному уравнению, так как \(\operatorname{tg} 5x\) не определено при этих значениях \(x\).
12. Следовательно, единственным решением является: \[ x = \frac{k\pi}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \frac{k\pi}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}\)