Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(ctgx+cosx-sinx=1\)

Ответ

NaN

Решение № 22109:

Решим уравнение \( \operatorname{ctg} x + \cos x - \sin x = 1 \) пошагово. 1. **Перепишем уравнение в терминах синуса и косинуса:** \[ \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \] Тогда уравнение принимает вид: \[ \frac{\cos x}{\sin x} + \cos x - \sin x = 1 \] 2. **Умножим обе части уравнения на \(\sin x\):** \[ \cos x + \cos x \sin x - \sin^2 x = \sin x \] 3. **Перенесём все члены в одну сторону:** \[ \cos x + \cos x \sin x - \sin^2 x - \sin x = 0 \] 4. **Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):** \[ \cos x + \cos x \sin x - (1 - \cos^2 x) - \sin x = 0 \] 5. **Упростим уравнение:** \[ \cos x + \cos x \sin x - 1 + \cos^2 x - \sin x = 0 \] \[ \cos^2 x + \cos x \sin x + \cos x - \sin x - 1 = 0 \] 6. **Рассмотрим два случая: \(\sin x = 0\) и \(\sin x \neq 0\):** - **Случай 1: \(\sin x = 0\):** \[ \sin x = 0 \implies x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] В этом случае \(\cos x = \pm 1\), и уравнение \(\cos x - 1 = 0\) выполняется. - **Случай 2: \(\sin x \neq 0\):** \[ \cos x \sin x + \cos x - \sin x - 1 = 0 \] Разделим уравнение на \(\sin x\): \[ \cos x + \frac{\cos x - 1}{\sin x} = 0 \] \[ \cos x + \operatorname{ctg} x - \frac{1}{\sin x} = 0 \] \[ \cos x + \operatorname{ctg} x - \frac{1}{\sin x} = 0 \] Это уравнение не имеет решений, так как \(\sin x \neq 0\) и \(\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}\). 7. **Заключение:** \[ x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\)