Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot ctg\frac{x}{2}-cosx+1, 0^{0}< x< 90^{0}\)

Ответ

NaN

Решение № 22112:

Для решения уравнения \(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \operatorname{ctg} \frac{x}{2} - \cos x + 1 = 0\) на промежутке \(0^\circ < x < 90^\circ\), выполним следующие шаги: 1. **Выразим котангенс через тангенс:** \[ \operatorname{ctg} \frac{x}{2} = \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{x}{2}} \] Следовательно, уравнение становится: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{x}{2}} - \cos x + 1 = 0 \] 2. **Используем формулу для косинуса через тангенс полуугла:** \[ \cos x = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} \] Подставим это в уравнение: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} \frac{x}{2}} - \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} + 1 = 0 \] 3. **Обозначим \(\operatorname{tg} \frac{x}{2} = t\):** \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{t} - \frac{1 - t^2}{1 + t^2} + 1 = 0 \] 4. **Умножим все члены уравнения на \(2t(1 + t^2)\) для устранения знаменателей:** \[ \sqrt{3} (1 + t^2) - 2t(1 - t^2) + 2t(1 + t^2) = 0 \] Упростим: \[ \sqrt{3} + \sqrt{3} t^2 - 2t + 2t^3 + 2t = 0 \] Сгруппируем подобные члены: \[ 2t^3 + \sqrt{3} t^2 + 2t + \sqrt{3} = 0 \] 5. **Разделим все члены на \(\sqrt{3}\):** \[ \frac{2}{\sqrt{3}} t^3 + t^2 + \frac{2}{\sqrt{3}} t + 1 = 0 \] Умножим все члены на \(\sqrt{3}\): \[ 2t^3 + \sqrt{3} t^2 + 2t + \sqrt{3} = 0 \] 6. **Решим кубическое уравнение:** \[ t^3 + \frac{\sqrt{3}}{2} t^2 + t + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \] Попробуем найти корни уравнения методом подстановки. Один из корней: \[ t = -\frac{\sqrt{3}}{3} \] 7. **Вернемся к переменной \(x\):** \[ \operatorname{tg} \frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \] Найдем \(\frac{x}{2}\): \[ \frac{x}{2} = \operatorname{arctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -30^\circ \] Следовательно: \[ x = -60^\circ \] Однако, это не входит в заданный интервал \(0^\circ < x < 90^\circ\). 8. **Проверим другие возможные значения:** \[ \operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Найдем \(\frac{x}{2}\): \[ \frac{x}{2} = \operatorname{arctg} \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 30^\circ \] Следовательно: \[ x = 60^\circ \] Таким образом, решение уравнения на промежутке \(0^\circ < x < 90^\circ\) есть \(x = 60^\circ\). Ответ: \(60^\circ\)