Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(2sin^{3}x-cos2x-sinx=0\)
Ответ
NaN
Решение № 22098:
Для решения уравнения \(2\sin^3 x - \cos 2x - \sin x = 0\), следуйте этим шагам:
- Используем формулу двойного угла для косинуса:
\(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\). Подставляем её в уравнение:
\[
2\sin^3 x - (1 - 2\sin^2 x) - \sin x = 0
\]
- Упрощаем уравнение:
\[
2\sin^3 x - 1 + 2\sin^2 x - \sin x = 0
\]
- Перегруппируем члены:
\[
2\sin^3 x + 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0
\]
- Выносим общий множитель \(\sin x\):
\[
\sin x (2\sin^2 x + 2\sin x - 1) - 1 = 0
\]
- Рассматриваем два случая:
- Первый случай: \(\sin x = 0\):
\[
\sin x = 0 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- Второй случай: \(2\sin^2 x + 2\sin x - 1 = 0\). Решаем квадратное уравнение относительно \(\sin x\):
\[
2\sin^2 x + 2\sin x - 1 = 0
\]
Используем формулу квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[
\sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Подставляем \(a = 2\), \(b = 2\), \(c = -1\):
\[
\sin x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}
\]
Получаем два решения:
\[
\sin x = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2} \quad \text{и} \quad \sin x = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}
\]
- Анализируем полученные значения \(\sin x\):
- Значение \(\sin x = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}\) невозможно, так как оно не принадлежит диапазону \([-1, 1]\).
- Значение \(\sin x = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}\) невозможно, так как оно также не принадлежит диапазону \([-1, 1]\).
- Таким образом, единственное решение:
\[
x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Ответ: \(x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)