Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(11+sin2x=22cosx+sinx\)

Ответ

NaN

Решение № 22117:

Решим уравнение \(11 + \sin 2x = 22 \cos x + \sin x\) пошагово.

1. Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\). Подставляем её в уравнение: \[11 + 2 \sin x \cos x = 22 \cos x + \sin x\]
2. Переносим все члены уравнения в одну сторону: \[2 \sin x \cos x - \sin x - 22 \cos x + 11 = 0\]
3. Выносим общий множитель \(\sin x\) и \(\cos x\): \[\sin x (2 \cos x - 1) - 22 \cos x + 11 = 0\]
4. Перегруппируем члены: \[\sin x (2 \cos x - 1) - 22 \cos x + 11 = 0\]
5. Рассмотрим два случая:
   1. Если \(\cos x = \frac{1}{2}\), то: \[2 \sin x \left(\frac{1}{2} - 1\right) - 22 \left(\frac{1}{2}\right) + 11 = 0\] \[2 \sin x \left(-\frac{1}{2}\right) - 11 + 11 = 0\] \[-\sin x = 0\] \[\sin x = 0\] Тогда \(\cos x = \frac{1}{2}\) и \(\sin x = 0\), что невозможно.
   2. Если \(\cos x \neq \frac{1}{2}\), то: \[\sin x = \frac{22 \cos x - 11}{2 \cos x - 1}\]
6. Подставляем \(\sin x = \frac{22 \cos x - 11}{2 \cos x - 1}\) в исходное уравнение и решаем его: \[11 + 2 \left(\frac{22 \cos x - 11}{2 \cos x - 1}\right) \cos x = 22 \cos x + \frac{22 \cos x - 11}{2 \cos x - 1}\] \[11 + \frac{44 \cos^2 x - 22 \cos x}{2 \cos x - 1} = 22 \cos x + \frac{22 \cos x - 11}{2 \cos x - 1}\] \[11 (2 \cos x - 1) + 44 \cos^2 x - 22 \cos x = (22 \cos x + 22 \cos x - 11)(2 \cos x - 1)\] \[11 (2 \cos x - 1) + 44 \cos^2 x - 22 \cos x = (44 \cos^2 x - 22 \cos x + 22 \cos x - 11)\] \[11 (2 \cos x - 1) = 11\] \[2 \cos x - 1 = 1\] \[\cos x = 1\] Тогда \(\sin x = 0\).
7. Решение \(\cos x = 1\) и \(\sin x = 0\) соответствует \(x = 2k\pi\), где \(k\) — целое число.

Ответ: \(x = 2k\pi\), где \(k\) — целое число.