Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sinx+cosx=\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx}, \frac{3}{2}\pi < x< \frac{5}{2}\pi\)

Ответ

NaN

Решение № 22093:

Решим уравнение \( \sin x + \cos x = \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} \) для \( \frac{3}{2}\pi < x < \frac{5}{2}\pi \).

1. Перепишем уравнение: \[ \sin x + \cos x = \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} \] Умножим обе части на \(\sin x \cos x\): \[ \sin x \cos x (\sin x + \cos x) = \cos x + \sin x \]
2. Поскольку \(\sin x + \cos x \neq 0\) (иначе уравнение не имело бы смысла), делим обе части на \(\sin x + \cos x\): \[ \sin x \cos x = 1 \]
3. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Подставляем \(\sin x \cos x = 1\): \[ \sin 2x = 2 \]
4. Синус не может быть больше 1, следовательно, \(\sin 2x = 1\): \[ \sin 2x = 1 \]
5. Находим \(2x\): \[ 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Разделим на 2: \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Определим \(x\) в заданном интервале \(\frac{3}{2}\pi < x < \frac{5}{2}\pi\): \[ \frac{3}{2}\pi < \frac{\pi}{4} + k\pi < \frac{5}{2}\pi \] Решим неравенство: \[ \frac{3}{2}\pi < \frac{\pi}{4} + k\pi < \frac{5}{2}\pi \] \[ \frac{3}{2}\pi - \frac{\pi}{4} < k\pi < \frac{5}{2}\pi - \frac{\pi}{4} \] \[ \frac{5\pi}{4} < k\pi < \frac{9\pi}{4} \] \[ \frac{5}{4} < k < \frac{9}{4} \] Поскольку \(k\) целое, \(k = 2\): \[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \]

Ответ: \(x = \frac{9\pi}{4}\)