Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(2cosx+sinx=1+sin2x\)

Ответ

NaN

Решение № 22107:

Для решения уравнения \(2\cos x + \sin x = 1 + \sin 2x\) выполним следующие шаги:

1. Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)
2. Подставляем \(\sin 2x\) в уравнение: \(2\cos x + \sin x = 1 + 2 \sin x \cos x\)
3. Переносим все члены в одну сторону: \(2\cos x + \sin x - 2 \sin x \cos x - 1 = 0\)
4. Группируем члены: \((2\cos x - 2 \sin x \cos x) + (\sin x - 1) = 0\)
5. Выносим общий множитель: \(2\cos x(1 - \sin x) + (\sin x - 1) = 0\)
6. Заметим, что \(\sin x - 1 = -(1 - \sin x)\): \(2\cos x(1 - \sin x) - (1 - \sin x) = 0\)
7. Выносим общий множитель \((1 - \sin x)\): \((1 - \sin x)(2\cos x - 1) = 0\)
8. Рассматриваем два случая:
   1. \(1 - \sin x = 0\): \(\sin x = 1\)
   2. \(2\cos x - 1 = 0\): \(\cos x = \frac{1}{2}\)
9. Решаем первый случай: \(\sin x = 1\)
   1. Из уравнения \(\sin x = 1\) следует, что: \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
10. Решаем второй случай: \(\cos x = \frac{1}{2}\)
    1. Из уравнения \(\cos x = \frac{1}{2}\) следует, что: \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi\), где \(n \in \mathbb{Z}\)

Ответ: \(x_1 = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), \(x_2 = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\)