Решение №21324: Конечно, давайте решим уравнение \(8 \sin^2 x - 6 \sin x - 5 = 0\) пошагово.

1. Перепишем уравнение в стандартной квадратной форме: \[8 \sin^2 x - 6 \sin x - 5 = 0\]
2. Определим дискриминант для решения квадратного уравнения. Для этого используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 8\), \(b = -6\), и \(c = -5\): \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 36 + 160 = 196\]
3. Найдем корни уравнения с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения: \[\sin x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] Подставим значения \(a\), \(b\) и \(D\): \[\sin x = \frac{6 \pm \sqrt{196}}{16} = \frac{6 \pm 14}{16}\]
4. Вычислим два возможных значения для \(\sin x\): \[\sin x = \frac{6 + 14}{16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}\] Это значение невозможно, так как \(\sin x\) должен быть в пределах \([-1, 1]\). \[\sin x = \frac{6 - 14}{16} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}\]
5. Решим уравнение \(\sin x = -\frac{1}{2}\): Значения \(x\), для которых \(\sin x = -\frac{1}{2}\), это: \[x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k\] где \(k\) — целое число.
6. Перепишем решения в общем виде: \[x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n\] где \(n\) — целое число.

Ответ: \[x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n\] где \(n\) — целое число.

Ответ: NaN

Решение №21325:

1. Перепишем уравнение в стандартной форме: \(\sin^2 x - 2 \sin x - 3 = 0\)
2. Рассмотрим уравнение как квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Пусть \(y = \sin x\). Тогда уравнение принимает вид: \(y^2 - 2y - 3 = 0\)
3. Решим квадратное уравнение \(y^2 - 2y - 3 = 0\) методом факторизации или квадратного уравнения: \(y^2 - 2y - 3 = (y - 3)(y + 1) = 0\)
4. Найдем корни уравнения: \(y - 3 = 0 \Rightarrow y = 3\) \(y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1\)
5. Подставим найденные значения \(y\) обратно в \(y = \sin x\): \(\sin x = 3\) (этот корень отбрасывается, так как значение синуса не может быть больше 1) \(\sin x = -1\)
6. Найдем общее решение уравнения \(\sin x = -1\). Значение \(\sin x = -1\) достигается при \(x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число. \(x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\)

Ответ: \(x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.

Ответ: NaN

Решение №21326: Для решения уравнения \( \cos^2 x - 2 \cos x - 3 = 0 \) выполним следующие шаги: 1. **Введем замену переменной**: Пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение принимает вид: \[ y^2 - 2y - 3 = 0 \] 2. **Решим квадратное уравнение**: Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ay^2 + by + c = 0 \): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставим \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \): \[ y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] 3. **Найдем корни**: \[ y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \] \[ y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] 4. **Вернемся к оригинальному уравнению**: \[ \cos x = 3 \quad \text{или} \quad \cos x = -1 \] 5. **Проверим допустимые значения для косинуса**: \[ \cos x = 3 \quad \text{невозможно, так как} \quad \cos x \in [-1, 1] \] \[ \cos x = -1 \quad \text{возможно} \] 6. **Найдем значения \( x \)**: \[ \cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Ответ: \[ x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21327: Решим уравнение \(2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0\) пошагово.

1. Заменим \(\cos x\) на \(y\). Тогда уравнение примет вид: \(2y^2 + y - 1 = 0\)
2. Решим квадратное уравнение \(2y^2 + y - 1 = 0\). Для этого найдём дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]
3. Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня. Найдём эти корни: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4} \] \[ y_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ y_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
4. Теперь подставим найденные значения \(y\) обратно в \(\cos x\): \[ \cos x = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \cos x = -1 \]
5. Решим уравнение \(\cos x = \frac{1}{2}\): \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Решим уравнение \(\cos x = -1\): \[ x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\) или \(x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21328: Для решения уравнения \( \sin^2(3x) - 5\sin(3x) + 4 = 0 \) выполним следующие шаги: 1. **Перепишем уравнение в стандартной форме квадратного уравнения:** \[ \sin^2(3x) - 5\sin(3x) + 4 = 0 \] Пусть \( \sin(3x) = t \). Тогда уравнение примет вид: \[ t^2 - 5t + 4 = 0 \] 2. **Решим квадратное уравнение:** \[ t^2 - 5t + 4 = 0 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -5 \), и \( c = 4 \): \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ t = \frac{5 \pm 3}{2} \] Получаем два решения: \[ t_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \] 3. **Проверим, возможны ли эти значения для синуса:** Значение \( t = 4 \) невозможно, так как синус любого угла лежит в диапазоне \([-1, 1]\). Значение \( t = 1 \) возможно. 4. **Решим уравнение \( \sin(3x) = 1 \):** \[ \sin(3x) = 1 \] Углы, синус которых равен 1, имеют вид: \[ 3x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Решим это уравнение относительно \( x \): \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Заключение Решение уравнения \( \sin^2(3x) - 5\sin(3x) + 4 = 0 \) даёт: \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

1. Перепишем уравнение в стандартной форме квадратного уравнения:
2. Решим квадратное уравнение:
3. Проверим, возможны ли эти значения для синуса:
4. Решим уравнение \( \sin(3x) = 1 \):

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN

Решение №21329: Решим уравнение \(1 - 2 \sin^2 x = \frac{7}{3} \sin x\) пошагово.

1. Перепишем уравнение в стандартном виде: \[ 1 - 2 \sin^2 x = \frac{7}{3} \sin x \]
2. Вспомним основное тригонометрическое тождество: \[ 1 = \cos^2 x + \sin^2 x \] И используем его для переписывания уравнения: \[ \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin^2 x = \frac{7}{3} \sin x \] Упростим: \[ \cos^2 x - \sin^2 x = \frac{7}{3} \sin x \]
3. Используем формулу косинуса двойного угла: \[ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \] Подставим эту формулу в уравнение: \[ \cos 2x = \frac{7}{3} \sin x \]
4. Теперь у нас есть уравнение: \[ \cos 2x = \frac{7}{3} \sin x \] Подставим \(\sin x = y\): \[ \cos 2x = \frac{7}{3} y \] Используем формулу для косинуса двойного угла: \[ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x = 1 - 2y^2 \] Получим: \[ 1 - 2y^2 = \frac{7}{3} y \]
5. Перепишем уравнение в стандартном виде: \[ 1 - 2y^2 - \frac{7}{3} y = 0 \] Умножим все члены на 3, чтобы избавиться от дроби: \[ 3 - 6y^2 - 7y = 0 \] Перепишем уравнение: \[ 6y^2 + 7y - 3 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение \(6y^2 + 7y - 3 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 6\), \(b = 7\), \(c = -3\): \[ y = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3)}}{2 \cdot 6} \] \[ y = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 72}}{12} \] \[ y = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{12} \] \[ y = \frac{-7 \pm 11}{12} \] Решим для двух корней: \[ y_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] \[ y_2 = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} \]
7. Теперь \(y = \sin x\), у нас два значения: \[ \sin x = \frac{1}{3} \] \[ \sin x = -\frac{3}{2} \quad (\text{неверно, так как значение синуса не может быть меньше -1}) \] Значит, рассмотрим только: \[ \sin x = \frac{1}{3} \]
8. Найдем \(x\) из уравнения \(\sin x = \frac{1}{3}\): \[ x = \arcsin \left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin \left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{для} \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \arcsin \left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin \left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{для} \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21330: Решим уравнение \(3 \cos^2 x + 10 \cos x + 3 = 0\) пошагово.

1. Заметим, что данное уравнение является квадратным относительно \(\cos x\). Запишем его в стандартной форме квадратного уравнения: \[ 3 (\cos x)^2 + 10 \cos x + 3 = 0 \]
2. Решим квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 3\), \(b = 10\), и \(c = 3\).
3. Вычислим дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \]
4. Теперь найдём корни уравнения: \[ \cos x = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 8}{6} \]
5. Рассчитаем два возможных значения \(\cos x\): \[ \cos x_1 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \] \[ \cos x_2 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \]
6. Значение \(\cos x_2 = -3\) невозможно, так как \(\cos x\) лежит в диапазоне \([-1, 1]\). Поэтому отбрасываем это значение.
7. Остаётся \(\cos x = -\frac{1}{3}\). Найдём \(x\): \[ x = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) \]
8. Так как \(\cos x = \cos(-x)\), то: \[ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21331: Конечно, давайте решим уравнение \(3\cos^2\frac{x}{4} + 5\cos\frac{x}{4} - 2 = 0\) пошагово.

1. Пусть \( y = \cos\frac{x}{4} \). Тогда уравнение принимает вид: \( 3y^2 + 5y - 2 = 0 \)
2. Решаем квадратное уравнение \( 3y^2 + 5y - 2 = 0 \) с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения: \( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 3 \), \( b = 5 \), \( c = -2 \)
3. Вычисляем дискриминант: \( \Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \)
4. Находим корни уравнения: \( y = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm 7}{6} \)
5. Это даёт нам два корня: \( y_1 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \), \( y_2 = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \)
6. Теперь возвращаемся к исходной переменной \( x \). Для \( y_1 = \frac{1}{3} \): \( \cos\frac{x}{4} = \frac{1}{3} \)
7. Решаем уравнение \( \cos\frac{x}{4} = \frac{1}{3} \): \( \frac{x}{4} = \pm \arccos\frac{1}{3} + 2k\pi \), где \( k \) — целое число
8. Тогда: \( x = \pm 4 \arccos\frac{1}{3} + 8k\pi \)
9. Для \( y_2 = -2 \): \( \cos\frac{x}{4} = -2 \)
10. Это значение невозможно, так как косинус не может быть меньше -1. Поэтому этот корень отбрасываем.

Ответ: \( x = \pm 4 \arccos\frac{1}{3} + 8k\pi \)

Ответ: NaN

Решение №21332: Решим уравнение \( \tan^2 x - 4 \tan x + 3 = 0 \) пошагово:

1. Заменим \(\tan x\) на \(y\): \[ y^2 - 4y + 3 = 0 \]
2. Решим квадратное уравнение \(y^2 - 4y + 3 = 0\): \[ y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \] \[ y = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ y = \frac{4 \pm 2}{2} \]
3. Найдем корни уравнения: \[ y_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \] \[ y_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \]
4. Теперь подставим обратно \(\tan x\): \[ \tan x = 3 \] \[ \tan x = 1 \]
5. Решим уравнения для \(\tan x\): \[ x_1 = \arctan(3) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x_2 = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x_1 = \arctan(3) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21333: Для решения уравнения \(3 \operatorname{tg}^2 x - 4 \operatorname{tg} x + 1 = 0\) выполним следующие шаги:

1. Подставим \( \operatorname{tg} x = t \). Тогда уравнение примет вид: \(3t^2 - 4t + 1 = 0\)
2. Решим квадратное уравнение \(3t^2 - 4t + 1 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 3\), \(b = -4\), и \(c = 1\): \[ t = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6} \]
3. Вычислим корни: \[ t_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1, \quad t_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} \]
4. Вернёмся к переменной \(x\) и решим уравнения \(\operatorname{tg} x = 1\) и \(\operatorname{tg} x = \frac{1}{3}\): \[ \operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ \operatorname{tg} x = \frac{1}{3} \implies x = \arctg \frac{1}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
5. Таким образом, решения уравнения \(3 \operatorname{tg}^2 x - 4 \operatorname{tg} x + 1 = 0\) имеют вид: \[ x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x_2 = \arctg \frac{1}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x_2 = \arctg \frac{1}{3} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21334: Для решения уравнения \(3 \cot^2 x - 4 \cot x + 1 = 0\) выполним следующие шаги: 1. **Заменим переменную**: Введем новую переменную \( y = \cot x \). Тогда уравнение примет вид: \[ 3y^2 - 4y + 1 = 0 \] 2. **Решим квадратное уравнение**: Для решения квадратного уравнения \(3y^2 - 4y + 1 = 0\) найдем дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \] 3. **Найдем корни уравнения**: Поскольку дискриминант положителен (\(D = 4\)), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6} \] Таким образом, корни уравнения: \[ y_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1, \quad y_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} \] 4. **Вернемся к исходной переменной**: Подставим обратно \( y = \cot x \): \[ \cot x = 1 \quad \text{и} \quad \cot x = \frac{1}{3} \] 5. **Решим тригонометрические уравнения**: - Для \(\cot x = 1\): \[ x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] - Для \(\cot x = \frac{1}{3}\): \[ x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] ### Итоговое решение: \[ \begin{aligned} & 3 \cot^2 x - 4 \cot x + 1 = 0 \\ & \text{Заменим переменную: } y = \cot x \\ & 3y^2 - 4y + 1 = 0 \\ & \text{Найдем дискриминант: } D = 4 \\ & \text{Корни уравнения: } y_1 = 1, \quad y_2 = \frac{1}{3} \\ & \cot x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \\ & \cot x = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{aligned} \]

Ответ: \( x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x_2 = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN

Решение №21335:

1. Перепишем уравнение в стандартной форме квадратного уравнения: \(4 \operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg} x - 3 = 0\)
2. Введем замену \(y = \operatorname{tg} x\). Тогда уравнение принимает вид: \(4y^2 - y - 3 = 0\)
3. Решим квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения: \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 4\), \(b = -1\), \(c = -3\): \[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{8} = \frac{1 \pm 7}{8} \]
4. Найдем корни уравнения: \[ y_1 = \frac{1 + 7}{8} = \frac{8}{8} = 1, \quad y_2 = \frac{1 - 7}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} \]
5. Вернемся к исходной переменной \(x\): \[ \operatorname{tg} x = 1 \quad \text{или} \quad \operatorname{tg} x = -\frac{3}{4} \]
6. Решим уравнения для \(x\): \[ \operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ \operatorname{tg} x = -\frac{3}{4} \implies x = -\arctan\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x_2 = -\arctan\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21336: Конечно, давайте решим уравнение \(2 \tan^4(3x) - 3 \tan^3(3x) + 1 = 0\) пошагово.

1. Введём замену \(y = \tan(3x)\). Тогда уравнение преобразуется к виду: \(2y^4 - 3y^3 + 1 = 0\)
2. Разделим уравнение на \(y^3\): \(2y - 3 + \frac{1}{y^3} = 0\)
3. Перепишем уравнение в виде: \(2y^4 - 3y^3 + 1 = 0\)
4. Рассмотрим возможные решения для \(y\). Попробуем найти простые корни, такие как \(y = 1\) и \(y = -1\):
   • Для \(y = 1\): \(2(1)^4 - 3(1)^3 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0\), что является верным.
   • Для \(y = -1\): \(2(-1)^4 - 3(-1)^3 + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \neq 0\), что не является решением.
5. Таким образом, \(y = 1\) является решением. Подставим \(y = 1\) обратно в замену: \(\tan(3x) = 1\)
6. Решим уравнение \(\tan(3x) = 1\): \(3x = \frac{\pi}{4} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
7. Теперь найдём \(x\): \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} = \frac{\pi}{12}(1 + 4k)\)
8. Итак, общее решение уравнения: \(x = \frac{\pi}{12}(4k + 1)\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: \(x = \frac{\pi}{12}(4k + 1)\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21337:

1. Выражаем $\sin^2 x$ через $\cos x$: $4 \sin^2 x + \cos x - 3 \frac{1}{2} = 0$
2. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $4 (1 - \cos^2 x) + \cos x - 3 \frac{1}{2} = 0$
3. Упрощаем уравнение: $4 - 4 \cos^2 x + \cos x - 3 \frac{1}{2} = 0$
4. Преобразуем уравнение: $-4 \cos^2 x + \cos x + \frac{1}{2} = 0$
5. Умножаем все члены уравнения на $-1$ для удобства: $4 \cos^2 x - \cos x - \frac{1}{2} = 0$
6. Решаем квадратное уравнение относительно $\cos x$: $4 \cos^2 x - \cos x - \frac{1}{2} = 0$
7. Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + 8 = 9$
8. Находим корни квадратного уравнения: $\cos x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{8} = \frac{1 + 3}{8} = \frac{1}{2}$ или $\frac{1 - 3}{8} = -\frac{1}{4}$
9. Решаем уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$
10. Решаем уравнение $\cos x = -\frac{1}{4}$: $x = \pm \arccos \left(-\frac{1}{4}\right) + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pm \arccos \left(-\frac{1}{4}\right) + 2m\pi, \quad k, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: NaN

Решение №21338: Конечно, давайте решим уравнение \(2\cos^2 x + 2\sqrt{2}\sin x - 3 = 0\) пошагово. ```html

1. Используем основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\): \(2(1 - \sin^2 x) + 2\sqrt{2}\sin x - 3 = 0\)
2. Раскрываем скобки и упрощаем уравнение: \(2 - 2\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x - 3 = 0\)
3. Упрощаем уравнение: \(-2\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x - 1 = 0\)
4. Вводим замену \(y = \sin x\). Уравнение превращается в квадратное уравнение: \(-2y^2 + 2\sqrt{2}y - 1 = 0\)
5. Решаем квадратное уравнение с помощью формулы \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = -2\), \(b = 2\sqrt{2}\), \(c = -1\): \(y = \frac{-2\sqrt{2} \pm \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 4(-2)(-1)}}{2(-2)}\)
6. Вычисляем дискриминант: \((2\sqrt{2})^2 - 4(-2)(-1) = 8 - 8 = 0\)
7. Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет одно решение: \(y = \frac{-2\sqrt{2}}{-4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
8. Возвращаемся к переменной \(x\): \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
9. Находим значения \(x\), которые удовлетворяют уравнению: \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) или \(x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.

Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) или \(x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.

Ответ: NaN

Решение №21339: Конечно, давайте решим уравнение \( \cos 2x + 3 \sin x = 2 \) пошагово. 1. **Используем формулу двойного угла для косинуса:** \[ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \] Подставим это в наше уравнение: \[ 1 - 2 \sin^2 x + 3 \sin x = 2 \] 2. **Перенесем все члены в одну сторону уравнения:** \[ 1 - 2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0 \] \[ -2 \sin^2 x + 3 \sin x - 1 = 0 \] 3. **Умножим все члены уравнения на -1 для удобства:** \[ 2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1 = 0 \] 4. **Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно \( \sin x \):** Пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид: \[ 2y^2 - 3y + 1 = 0 \] 5. **Решим квадратное уравнение:** Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ay^2 + by + c = 0 \): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \( a = 2 \), \( b = -3 \), \( c = 1 \): \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} \] \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} \] \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} \] \[ y = \frac{3 \pm 1}{4} \] \[ y_1 = \frac{4}{4} = 1, \quad y_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] 6. **Вернемся к переменной \( \sin x \):** \[ \sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{1}{2} \] 7. **Найдем \( x \) для каждого случая:** - Для \( \sin x = 1 \): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] - Для \( \sin x = \frac{1}{2} \): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 8. **Запишем окончательное решение:** \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN

Решение №21340:

1. Запишем исходное уравнение: \[2 \operatorname{tg} x - 2 \operatorname{ctg} x = 3\]
2. Распишем тангенс и котангенс через синус и косинус: \[2 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) - 2 \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) = 3\]
3. Упростим выражение: \[\frac{2 \sin x}{\cos x} - \frac{2 \cos x}{\sin x} = 3\]
4. Приведем дроби к общему знаменателю: \[\frac{2 \sin^2 x - 2 \cos^2 x}{\sin x \cos x} = 3\]
5. Заметим, что \(\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x\): \[\frac{-2 \cos 2x}{\sin x \cos x} = 3\]
6. Умножим обе части уравнения на \(\sin x \cos x\): \[-2 \cos 2x = 3 \sin x \cos x\]
7. Используем тождество \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\): \[-2 \cos 2x = \frac{3}{2} \sin 2x\]
8. Разделим обе части уравнения на \(\cos 2x\): \[\operatorname{tg} 2x = -\frac{3}{2}\]
9. Решим уравнение для \(2x\): \[2x = -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]
10. Разделим обе части уравнения на 2: \[x = -\frac{1}{2} \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \(x = -\frac{1}{2} \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21341: Решим уравнение \(5\sin\frac{x}{6} - \cos\frac{x}{3} + 1 = -2\) пошагово.

1. Перепишем уравнение в более удобной форме: \[5\sin\frac{x}{6} - \cos\frac{x}{3} + 1 = -2\] \[5\sin\frac{x}{6} - \cos\frac{x}{3} = -3\]
2. Используем формулу двойного угла для косинуса: \[\cos\frac{x}{3} = 1 - 2\sin^2\frac{x}{6}\] Подставим эту формулу в уравнение: \[5\sin\frac{x}{6} - (1 - 2\sin^2\frac{x}{6}) = -3\] \[5\sin\frac{x}{6} - 1 + 2\sin^2\frac{x}{6} = -3\]
3. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[2\sin^2\frac{x}{6} + 5\sin\frac{x}{6} + 2 = 0\]
4. Получили квадратное уравнение относительно \(\sin\frac{x}{6}\). Решим его: \[2u^2 + 5u + 2 = 0\] где \(u = \sin\frac{x}{6}\). Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Подставим \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = 2\): \[u = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}\] \[u = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}\] \[u = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4}\] \[u = \frac{-5 \pm 3}{4}\] \[u = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad u = \frac{-8}{4} = -2\]
5. Рассмотрим возможные значения \(u = \sin\frac{x}{6}\): \[u = -2 \quad \text{(невозможно, так как синус не может быть меньше -1)}\] \[u = -\frac{1}{2}\]
6. Решим уравнение \(\sin\frac{x}{6} = -\frac{1}{2}\): \[\frac{x}{6} = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{6} = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2k\pi\] \[\frac{x}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\]
7. Найдем \(x\): \[x = 6\left(-\frac{\pi}{6} + 2k\pi\right) \quad \text{или} \quad x = 6\left(\frac{7\pi}{6} + 2k\pi\right)\] \[x = -\pi + 12k\pi \quad \text{или} \quad x = 7\pi + 12k\pi\] \[x = -\pi(4k + 1) \quad \text{или} \quad x = \pi(4k + 7)\]

Ответ: \(x = -\pi(4k + 1) \quad \text{или} \quad x = \pi(4k + 7)\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21342: Для решения уравнения \(1 - 5 \sin x + 2 \cos^2 x = 0\) выполним следующие шаги: 1. **Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)**: \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \] Подставим это в уравнение: \[ 1 - 5 \sin x + 2 (1 - \sin^2 x) = 0 \] 2. **Раскроем скобки и упростим уравнение**: \[ 1 - 5 \sin x + 2 - 2 \sin^2 x = 0 \] \[ 3 - 5 \sin x - 2 \sin^2 x = 0 \] 3. **Перенесем все члены в одну сторону уравнения**: \[ 2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0 \] 4. **Решим квадратное уравнение относительно \(\sin x\)**: \[ a = 2, \quad b = 5, \quad c = -3 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ \sin x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} \] \[ \sin x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} \] \[ \sin x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4} \] \[ \sin x = \frac{-5 \pm 7}{4} \] 5. **Найдем корни**: \[ \sin x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ \sin x = \frac{-12}{4} = -3 \] Корнем \(\sin x = -3\) можно пренебречь, так как \(\sin x\) не может быть меньше -1. 6. **Определим значения \(x\)**: \[ \sin x = \frac{1}{2} \] Значения \(x\), при которых \(\sin x = \frac{1}{2}\), это: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Ответ: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21343: Решим уравнение \(2 \cos 2x - 4 \cos x = 1\) пошагово.

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1\). Тогда: \[ 2 \cos 2x - 4 \cos x = 1 \implies 2 (2 \cos^2 x - 1) - 4 \cos x = 1 \]
2. Упрощаем выражение: \[ 4 \cos^2 x - 2 - 4 \cos x = 1 \implies 4 \cos^2 x - 4 \cos x - 3 = 0 \]
3. Решаем квадратное уравнение относительно \(\cos x\): \[ 4 \cos^2 x - 4 \cos x - 3 = 0 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения \(a \cos^2 x + b \cos x + c = 0\): \[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 4\), \(b = -4\), \(c = -3\).
4. Вычисляем дискриминант: \[ b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 \]
5. Находим корни: \[ \cos x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 8}{8} \] \[ \cos x = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \quad \text{(невозможно, так как } \cos x \text{ должен быть в пределах } [-1, 1]) \] \[ \cos x = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \]
6. Находим \(x\) из \(\cos x = -\frac{1}{2}\): \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{где } k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21344: Конечно, давайте решим уравнение \(2 \sin x - 3 \cos x = 0\) пошагово. ```html

1. Перепишем уравнение: \(2 \sin x - 3 \cos x = 0\)
2. Выделим \(\cos x\) из уравнения: \(2 \sin x = 3 \cos x\)
3. Разделим обе части уравнения на \(\cos x\) (предполагая, что \(\cos x \neq 0\)): \(\frac{2 \sin x}{\cos x} = 3\)
4. Используем тождество \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\): \(2 \tan x = 3\)
5. Решим уравнение относительно \(\tan x\): \(\tan x = \frac{3}{2}\)
6. Найдём \(x\) из уравнения \(\tan x = \frac{3}{2}\): \(x = \arctan \left(\frac{3}{2}\right) + \pi k\), где \(k\) — целое число.

Ответ: \(x = \arctan \left(\frac{3}{2}\right) + \pi k\), где \(k\) — целое число.

Ответ: NaN

Решение №21345:

1. Начнем с исходного уравнения: \[ \sin 2x + \cos 2x = 0 \]
2. Разделим обе части уравнения на \(\cos 2x\) (предполагая, что \(\cos 2x \neq 0\)): \[ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} + 1 = 0 \]
3. Используем тождество для тангенса: \[ \tan 2x + 1 = 0 \]
4. Решаем уравнение для \(\tan 2x\): \[ \tan 2x = -1 \]
5. Находим общее решение для угла, тангенс которого равен -1: \[ 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Разделяем на 2, чтобы найти \(x\): \[ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Упрощаем выражение: \[ x = \frac{\pi}{8}(4k - 1), \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \frac{\pi}{8}(4k - 1), \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21346: Конечно, давайте решим уравнение \( \cos^2 x + \sin x \cos x = 0 \) пошагово.

1. Перепишем уравнение в более удобной форме: \[ \cos^2 x + \sin x \cos x = 0 \]
2. Вынесем общий множитель \(\cos x\): \[ \cos x (\cos x + \sin x) = 0 \]
3. Разделим задачу на два случая:
   1. Первый случай: \(\cos x = 0\)
   2. Второй случай: \(\cos x + \sin x = 0\)
4. Решим первый случай: \(\cos x = 0\)
   • Общее решение для \(\cos x = 0\) даётся уравнением: \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
5. Решим второй случай: \(\cos x + \sin x = 0\)
   • Перепишем уравнение: \[ \cos x = -\sin x \]
   • Разделим обе части на \(\cos x\) (при \(\cos x \neq 0\)): \[ 1 = -\tan x \]
   • Общее решение для \(\tan x = -1\) даётся уравнением: \[ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
6. Объединим решения обоих случаев:
   • Общее решение уравнения \( \cos^2 x + \sin x \cos x = 0 \): \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \) или \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN

Решение №21347: Решим уравнение \(4 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 3\) пошагово.

1. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ 4 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 3 \] Выразим \(\cos^2 x\) через \(\sin^2 x\): \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \]
2. Используем формулу двойного угла для синуса и косинуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Тогда: \[ 2 \sin x \cos x = \sin 2x \]
3. Подставляем \(\sin 2x\) в уравнение: \[ 4 \sin^2 x + \sin 2x = 3 \]
4. Заменяем \(\sin^2 x\) на \(\frac{1 - \cos 2x}{2}\) (используя формулу двойного угла для косинуса): \[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \] Тогда: \[ 4 \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) + \sin 2x = 3 \] Упрощаем: \[ 2(1 - \cos 2x) + \sin 2x = 3 \] \[ 2 - 2 \cos 2x + \sin 2x = 3 \] \[ \sin 2x - 2 \cos 2x = 1 \]
5. Решаем систему уравнений: \[ \begin{cases} \sin 2x - 2 \cos 2x = 1 \\ \sin^2 2x + \cos^2 2x = 1 \end{cases} \]
6. Выражаем \(\sin 2x\) через \(\cos 2x\): \[ \sin 2x = 1 + 2 \cos 2x \] Подставляем в \(\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1\): \[ (1 + 2 \cos 2x)^2 + \cos^2 2x = 1 \] Упрощаем: \[ 1 + 4 \cos 2x + 4 \cos^2 2x + \cos^2 2x = 1 \] \[ 5 \cos^2 2x + 4 \cos 2x = 0 \] \[ \cos 2x (5 \cos 2x + 4) = 0 \]
7. Решаем уравнение: \[ \cos 2x = 0 \quad \text{или} \quad 5 \cos 2x + 4 = 0 \] \[ \cos 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ 5 \cos 2x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos 2x = -\frac{4}{5} \quad \Rightarrow \quad 2x = \arccos \left(-\frac{4}{5}\right) + 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \arccos \left(-\frac{4}{5}\right) + \pi k \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \, n \in \mathbb{Z}, \quad x_2 = \frac{1}{2} \arccos \left(-\frac{4}{5}\right) + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21348: Решим уравнение \( \sin x - 2 \sin^2 x = 0 \) пошагово:

1. Запишем исходное уравнение: \[ \sin x - 2 \sin^2 x = 0 \]
2. Вынесем \(\sin x\) за скобки: \[ \sin x (1 - 2 \sin x) = 0 \]
3. Приравняем каждый множитель к нулю: \[ \sin x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - 2 \sin x = 0 \]
4. Решим первое уравнение \(\sin x = 0\): \[ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
5. Решим второе уравнение \(1 - 2 \sin x = 0\): \[ 1 - 2 \sin x = 0 \implies 2 \sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2} \]
6. Найдём значения \(x\), при которых \(\sin x = \frac{1}{2}\): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
7. Объединим все найденные решения: \[ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21349: Решим уравнение \( \cos^2 x + 2 \cos x = 0 \) пошагово.

1. Перепишем уравнение в виде: \[ \cos^2 x + 2 \cos x = 0 \]
2. Вынесем общий множитель \(\cos x\): \[ \cos x (\cos x + 2) = 0 \]
3. Рассмотрим два случая:
   1. Первый множитель равен нулю: \[ \cos x = 0 \]
   2. Второй множитель равен нулю: \[ \cos x + 2 = 0 \]
4. Решим первый случай: \[ \cos x = 0 \] \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
5. Решим второй случай: \[ \cos x + 2 = 0 \] \[ \cos x = -2 \] Это невозможно, так как косинус любого угла находится в диапазоне \([-1, 1]\).

Ответ: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21350: Конечно! Давайте решим уравнение \( \sin 8x - 2 \cos 4x = 0 \) пошагово.

1. Перепишем уравнение: \[ \sin 8x - 2 \cos 4x = 0 \]
2. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 8x = \sin (2 \cdot 4x) = 2 \sin 4x \cos 4x \] Тогда уравнение принимает вид: \[ 2 \sin 4x \cos 4x - 2 \cos 4x = 0 \]
3. Вынесем общий множитель \(2 \cos 4x\): \[ 2 \cos 4x (\sin 4x - 1) = 0 \]
4. Разделим уравнение на два отдельных уравнения: \[ \cos 4x = 0 \] или \[ \sin 4x = 1 \]
5. Решим первое уравнение \( \cos 4x = 0 \): \[ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} = \frac{\pi}{8} (1 + 2n), \quad n \in \mathbb{Z} \]
6. Решим второе уравнение \( \sin 4x = 1 \): \[ 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{8} (1 + 4k), \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Объединяем решения: \[ x = \frac{\pi}{8} (1 + 2n), \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{8} (1 + 4k), \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \frac{\pi}{8} (1 + 2n), \quad n \in \mathbb{Z} \] или \[ x = \frac{\pi}{8} (1 + 4k), \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21351: Решим уравнение \(1 - \cos 2x - 4 \sin x = 0\) пошагово:

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\). Подставим это в исходное уравнение: \[ 1 - (1 - 2 \sin^2 x) - 4 \sin x = 0 \]
2. Упростим уравнение: \[ 1 - 1 + 2 \sin^2 x - 4 \sin x = 0 \implies 2 \sin^2 x - 4 \sin x = 0 \]
3. Вынесем \(\sin x\) за скобки: \[ 2 \sin x (\sin x - 2) = 0 \]
4. Решим полученное уравнение: \[ \sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x - 2 = 0 \]
5. Рассмотрим первое решение \(\sin x = 0\): \[ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Рассмотрим второе решение \(\sin x = 2\): \[ \sin x = 2 \quad \text{не имеет решений, так как} \quad \sin x \in [-1, 1] \]

Ответ: \(x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21352: Для решения уравнения \(\frac{1}{sinx}-1=ctgx-cosx\) выполним следующие шаги: 1. **Преобразуем котангенс**: \[ \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \] Подставим это в уравнение: \[ \frac{1}{\sin x} - 1 = \frac{\cos x}{\sin x} - \cos x \] 2. **Приведем к общему знаменателю**: \[ \frac{1 - \sin x}{\sin x} = \frac{\cos x - \cos x \sin x}{\sin x} \] 3. **Упростим выражение**: \[ \frac{1 - \sin x}{\sin x} = \frac{\cos x (1 - \sin x)}{\sin x} \] Так как \(\sin x \neq 0\) (иначе уравнение не имеет смысла), можно сократить на \(\sin x\): \[ 1 - \sin x = \cos x (1 - \sin x) \] 4. **Рассмотрим два случая**: - Случай 1: \(1 - \sin x = 0\) \[ \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z} \] - Случай 2: \(1 - \sin x \neq 0\) \[ 1 = \cos x \] \[ \cos x = 1 \implies x = 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z} \] 5. **Проверим решения**: - Для \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\): \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = 1, \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = 0 \] Подставляем в исходное уравнение: \[ \frac{1}{1} - 1 = \frac{0}{1} - 0 \implies 0 = 0 \] Решение верно. - Для \(x = 2\pi k\): \[ \sin(2\pi k) = 0, \quad \cos(2\pi k) = 1 \] Подставляем в исходное уравнение: \[ \frac{1}{0} - 1 = \frac{1}{0} - 1 \] Это приводит к неопределенности, поэтому \(x = 2\pi k\) не является решением. ### Ответ: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21353: Решим уравнение \( \sin x + \tan x = \frac{1}{\cos x} - \cos x \) пошагово.

1. Перепишем уравнение, используя тригонометрические тождества: \[ \sin x + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{\cos x} - \cos x \]
2. Умножим обе части уравнения на \(\cos x\) (предполагая, что \(\cos x \neq 0\)): \[ \sin x \cos x + \sin x = 1 - \cos^2 x \]
3. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ \sin x \cos x + \sin x = \sin^2 x \]
4. Вынесем \(\sin x\) за скобки: \[ \sin x (\cos x + 1) = \sin^2 x \]
5. Разделим обе части уравнения на \(\sin x\) (предполагая, что \(\sin x \neq 0\)): \[ \cos x + 1 = \sin x \]
6. Перенесем \(\cos x\) в одну сторону уравнения: \[ \sin x - \cos x = 1 \]
7. Используем тождество \(\sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)\): \[ \sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 1 \]
8. Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\): \[ \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
9. Найдем \(x\), используя обратную функцию синуса: \[ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \]
10. Решим уравнения для \(x\): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi + 2k\pi \]
11. Проверим решения, чтобы убедиться, что они удовлетворяют исходному уравнению. \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{не удовлетворяет условию} \quad \cos x \neq 0 \] \[ x = \pi + 2k\pi \quad \text{удовлетворяет условию} \quad \cos x \neq 0 \]

Ответ: \( x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN