Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(2cos^{2}x+2\sqrt{2}sinx-3=0\)
Ответ
NaN
Решение № 21338:
Конечно, давайте решим уравнение \(2\cos^2 x + 2\sqrt{2}\sin x - 3 = 0\) пошагово.
```html
- Используем основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\):
\(2(1 - \sin^2 x) + 2\sqrt{2}\sin x - 3 = 0\)
- Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:
\(2 - 2\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x - 3 = 0\)
- Упрощаем уравнение:
\(-2\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x - 1 = 0\)
- Вводим замену \(y = \sin x\). Уравнение превращается в квадратное уравнение:
\(-2y^2 + 2\sqrt{2}y - 1 = 0\)
- Решаем квадратное уравнение с помощью формулы \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\),
где \(a = -2\), \(b = 2\sqrt{2}\), \(c = -1\):
\(y = \frac{-2\sqrt{2} \pm \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 4(-2)(-1)}}{2(-2)}\)
- Вычисляем дискриминант:
\((2\sqrt{2})^2 - 4(-2)(-1) = 8 - 8 = 0\)
- Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет одно решение:
\(y = \frac{-2\sqrt{2}}{-4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
- Возвращаемся к переменной \(x\):
\(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
- Находим значения \(x\), которые удовлетворяют уравнению:
\(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) или \(x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.
Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) или \(x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.
```