Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(4tg^{2}x-tgx-3=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21335:

1. Перепишем уравнение в стандартной форме квадратного уравнения: \(4 \operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg} x - 3 = 0\)
2. Введем замену \(y = \operatorname{tg} x\). Тогда уравнение принимает вид: \(4y^2 - y - 3 = 0\)
3. Решим квадратное уравнение с помощью формулы квадратного уравнения: \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 4\), \(b = -1\), \(c = -3\): \[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{8} = \frac{1 \pm 7}{8} \]
4. Найдем корни уравнения: \[ y_1 = \frac{1 + 7}{8} = \frac{8}{8} = 1, \quad y_2 = \frac{1 - 7}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} \]
5. Вернемся к исходной переменной \(x\): \[ \operatorname{tg} x = 1 \quad \text{или} \quad \operatorname{tg} x = -\frac{3}{4} \]
6. Решим уравнения для \(x\): \[ \operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ \operatorname{tg} x = -\frac{3}{4} \implies x = -\arctan\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x_2 = -\arctan\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}\)