Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(1-5sinx+2cos^{2}x=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21342:

Для решения уравнения \(1 - 5 \sin x + 2 \cos^2 x = 0\) выполним следующие шаги: 1. **Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)**: \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \] Подставим это в уравнение: \[ 1 - 5 \sin x + 2 (1 - \sin^2 x) = 0 \] 2. **Раскроем скобки и упростим уравнение**: \[ 1 - 5 \sin x + 2 - 2 \sin^2 x = 0 \] \[ 3 - 5 \sin x - 2 \sin^2 x = 0 \] 3. **Перенесем все члены в одну сторону уравнения**: \[ 2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0 \] 4. **Решим квадратное уравнение относительно \(\sin x\)**: \[ a = 2, \quad b = 5, \quad c = -3 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ \sin x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} \] \[ \sin x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} \] \[ \sin x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4} \] \[ \sin x = \frac{-5 \pm 7}{4} \] 5. **Найдем корни**: \[ \sin x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ \sin x = \frac{-12}{4} = -3 \] Корнем \(\sin x = -3\) можно пренебречь, так как \(\sin x\) не может быть меньше -1. 6. **Определим значения \(x\)**: \[ \sin x = \frac{1}{2} \] Значения \(x\), при которых \(\sin x = \frac{1}{2}\), это: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Ответ: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]