Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(3cos^{2}\frac{x}{4}+5cos\frac{x}{4}-2=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21331:

Конечно, давайте решим уравнение \(3\cos^2\frac{x}{4} + 5\cos\frac{x}{4} - 2 = 0\) пошагово.

1. Пусть \( y = \cos\frac{x}{4} \). Тогда уравнение принимает вид: \( 3y^2 + 5y - 2 = 0 \)
2. Решаем квадратное уравнение \( 3y^2 + 5y - 2 = 0 \) с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения: \( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 3 \), \( b = 5 \), \( c = -2 \)
3. Вычисляем дискриминант: \( \Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \)
4. Находим корни уравнения: \( y = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm 7}{6} \)
5. Это даёт нам два корня: \( y_1 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \), \( y_2 = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \)
6. Теперь возвращаемся к исходной переменной \( x \). Для \( y_1 = \frac{1}{3} \): \( \cos\frac{x}{4} = \frac{1}{3} \)
7. Решаем уравнение \( \cos\frac{x}{4} = \frac{1}{3} \): \( \frac{x}{4} = \pm \arccos\frac{1}{3} + 2k\pi \), где \( k \) — целое число
8. Тогда: \( x = \pm 4 \arccos\frac{1}{3} + 8k\pi \)
9. Для \( y_2 = -2 \): \( \cos\frac{x}{4} = -2 \)
10. Это значение невозможно, так как косинус не может быть меньше -1. Поэтому этот корень отбрасываем.

Ответ: \( x = \pm 4 \arccos\frac{1}{3} + 8k\pi \)