Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(2cos2x-4cosx=1\)

Ответ

NaN

Решение № 21343:

Решим уравнение \(2 \cos 2x - 4 \cos x = 1\) пошагово.

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1\). Тогда: \[ 2 \cos 2x - 4 \cos x = 1 \implies 2 (2 \cos^2 x - 1) - 4 \cos x = 1 \]
2. Упрощаем выражение: \[ 4 \cos^2 x - 2 - 4 \cos x = 1 \implies 4 \cos^2 x - 4 \cos x - 3 = 0 \]
3. Решаем квадратное уравнение относительно \(\cos x\): \[ 4 \cos^2 x - 4 \cos x - 3 = 0 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения \(a \cos^2 x + b \cos x + c = 0\): \[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 4\), \(b = -4\), \(c = -3\).
4. Вычисляем дискриминант: \[ b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 \]
5. Находим корни: \[ \cos x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 8}{8} \] \[ \cos x = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \quad \text{(невозможно, так как } \cos x \text{ должен быть в пределах } [-1, 1]) \] \[ \cos x = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \]
6. Находим \(x\) из \(\cos x = -\frac{1}{2}\): \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{где } k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}\)