Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(sin^{2}3x-5sin3x+4=0\)
Ответ
NaN
Решение № 21328:
Для решения уравнения \( \sin^2(3x) - 5\sin(3x) + 4 = 0 \) выполним следующие шаги: 1. **Перепишем уравнение в стандартной форме квадратного уравнения:** \[ \sin^2(3x) - 5\sin(3x) + 4 = 0 \] Пусть \( \sin(3x) = t \). Тогда уравнение примет вид: \[ t^2 - 5t + 4 = 0 \] 2. **Решим квадратное уравнение:** \[ t^2 - 5t + 4 = 0 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -5 \), и \( c = 4 \): \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ t = \frac{5 \pm 3}{2} \] Получаем два решения: \[ t_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \] 3. **Проверим, возможны ли эти значения для синуса:** Значение \( t = 4 \) невозможно, так как синус любого угла лежит в диапазоне \([-1, 1]\). Значение \( t = 1 \) возможно. 4. **Решим уравнение \( \sin(3x) = 1 \):** \[ \sin(3x) = 1 \] Углы, синус которых равен 1, имеют вид: \[ 3x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Решим это уравнение относительно \( x \): \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Заключение Решение уравнения \( \sin^2(3x) - 5\sin(3x) + 4 = 0 \) даёт: \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \)