Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos^{2}x-2cosx-3=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21326:

Для решения уравнения \( \cos^2 x - 2 \cos x - 3 = 0 \) выполним следующие шаги: 1. **Введем замену переменной**: Пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение принимает вид: \[ y^2 - 2y - 3 = 0 \] 2. **Решим квадратное уравнение**: Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ay^2 + by + c = 0 \): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставим \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \): \[ y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] 3. **Найдем корни**: \[ y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \] \[ y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] 4. **Вернемся к оригинальному уравнению**: \[ \cos x = 3 \quad \text{или} \quad \cos x = -1 \] 5. **Проверим допустимые значения для косинуса**: \[ \cos x = 3 \quad \text{невозможно, так как} \quad \cos x \in [-1, 1] \] \[ \cos x = -1 \quad \text{возможно} \] 6. **Найдем значения \( x \)**: \[ \cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Ответ: \[ x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]