Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(3ctg^{2}x-4ctgx+1=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21334:

Для решения уравнения \(3 \cot^2 x - 4 \cot x + 1 = 0\) выполним следующие шаги: 1. **Заменим переменную**: Введем новую переменную \( y = \cot x \). Тогда уравнение примет вид: \[ 3y^2 - 4y + 1 = 0 \] 2. **Решим квадратное уравнение**: Для решения квадратного уравнения \(3y^2 - 4y + 1 = 0\) найдем дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \] 3. **Найдем корни уравнения**: Поскольку дискриминант положителен (\(D = 4\)), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6} \] Таким образом, корни уравнения: \[ y_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1, \quad y_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} \] 4. **Вернемся к исходной переменной**: Подставим обратно \( y = \cot x \): \[ \cot x = 1 \quad \text{и} \quad \cot x = \frac{1}{3} \] 5. **Решим тригонометрические уравнения**: - Для \(\cot x = 1\): \[ x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] - Для \(\cot x = \frac{1}{3}\): \[ x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] ### Итоговое решение: \[ \begin{aligned} & 3 \cot^2 x - 4 \cot x + 1 = 0 \\ & \text{Заменим переменную: } y = \cot x \\ & 3y^2 - 4y + 1 = 0 \\ & \text{Найдем дискриминант: } D = 4 \\ & \text{Корни уравнения: } y_1 = 1, \quad y_2 = \frac{1}{3} \\ & \cot x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \\ & \cot x = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{aligned} \]

Ответ: \( x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x_2 = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)