Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos2x+3sinx=2\)

Ответ

NaN

Решение № 21339:

Конечно, давайте решим уравнение \( \cos 2x + 3 \sin x = 2 \) пошагово. 1. **Используем формулу двойного угла для косинуса:** \[ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \] Подставим это в наше уравнение: \[ 1 - 2 \sin^2 x + 3 \sin x = 2 \] 2. **Перенесем все члены в одну сторону уравнения:** \[ 1 - 2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0 \] \[ -2 \sin^2 x + 3 \sin x - 1 = 0 \] 3. **Умножим все члены уравнения на -1 для удобства:** \[ 2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1 = 0 \] 4. **Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно \( \sin x \):** Пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид: \[ 2y^2 - 3y + 1 = 0 \] 5. **Решим квадратное уравнение:** Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ay^2 + by + c = 0 \): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \( a = 2 \), \( b = -3 \), \( c = 1 \): \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} \] \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} \] \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} \] \[ y = \frac{3 \pm 1}{4} \] \[ y_1 = \frac{4}{4} = 1, \quad y_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] 6. **Вернемся к переменной \( \sin x \):** \[ \sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{1}{2} \] 7. **Найдем \( x \) для каждого случая:** - Для \( \sin x = 1 \): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] - Для \( \sin x = \frac{1}{2} \): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 8. **Запишем окончательное решение:** \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)