Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(2tgx-2ctgx=3\)

Ответ

NaN

Решение № 21340:

1. Запишем исходное уравнение: \[2 \operatorname{tg} x - 2 \operatorname{ctg} x = 3\]
2. Распишем тангенс и котангенс через синус и косинус: \[2 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) - 2 \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) = 3\]
3. Упростим выражение: \[\frac{2 \sin x}{\cos x} - \frac{2 \cos x}{\sin x} = 3\]
4. Приведем дроби к общему знаменателю: \[\frac{2 \sin^2 x - 2 \cos^2 x}{\sin x \cos x} = 3\]
5. Заметим, что \(\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x\): \[\frac{-2 \cos 2x}{\sin x \cos x} = 3\]
6. Умножим обе части уравнения на \(\sin x \cos x\): \[-2 \cos 2x = 3 \sin x \cos x\]
7. Используем тождество \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\): \[-2 \cos 2x = \frac{3}{2} \sin 2x\]
8. Разделим обе части уравнения на \(\cos 2x\): \[\operatorname{tg} 2x = -\frac{3}{2}\]
9. Решим уравнение для \(2x\): \[2x = -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]
10. Разделим обе части уравнения на 2: \[x = -\frac{1}{2} \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \(x = -\frac{1}{2} \operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}\)