Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(5sin\frac{x}{6}-cos\frac{x}{3}+1=-2\)

Ответ

NaN

Решение № 21341:

Решим уравнение \(5\sin\frac{x}{6} - \cos\frac{x}{3} + 1 = -2\) пошагово.

1. Перепишем уравнение в более удобной форме: \[5\sin\frac{x}{6} - \cos\frac{x}{3} + 1 = -2\] \[5\sin\frac{x}{6} - \cos\frac{x}{3} = -3\]
2. Используем формулу двойного угла для косинуса: \[\cos\frac{x}{3} = 1 - 2\sin^2\frac{x}{6}\] Подставим эту формулу в уравнение: \[5\sin\frac{x}{6} - (1 - 2\sin^2\frac{x}{6}) = -3\] \[5\sin\frac{x}{6} - 1 + 2\sin^2\frac{x}{6} = -3\]
3. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[2\sin^2\frac{x}{6} + 5\sin\frac{x}{6} + 2 = 0\]
4. Получили квадратное уравнение относительно \(\sin\frac{x}{6}\). Решим его: \[2u^2 + 5u + 2 = 0\] где \(u = \sin\frac{x}{6}\). Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Подставим \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = 2\): \[u = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}\] \[u = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}\] \[u = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4}\] \[u = \frac{-5 \pm 3}{4}\] \[u = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad u = \frac{-8}{4} = -2\]
5. Рассмотрим возможные значения \(u = \sin\frac{x}{6}\): \[u = -2 \quad \text{(невозможно, так как синус не может быть меньше -1)}\] \[u = -\frac{1}{2}\]
6. Решим уравнение \(\sin\frac{x}{6} = -\frac{1}{2}\): \[\frac{x}{6} = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{6} = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2k\pi\] \[\frac{x}{6} = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\]
7. Найдем \(x\): \[x = 6\left(-\frac{\pi}{6} + 2k\pi\right) \quad \text{или} \quad x = 6\left(\frac{7\pi}{6} + 2k\pi\right)\] \[x = -\pi + 12k\pi \quad \text{или} \quad x = 7\pi + 12k\pi\] \[x = -\pi(4k + 1) \quad \text{или} \quad x = \pi(4k + 7)\]

Ответ: \(x = -\pi(4k + 1) \quad \text{или} \quad x = \pi(4k + 7)\), где \(k \in \mathbb{Z}\)