Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(1-2sin^{2}x=\frac{7}{3}sinx\)

Ответ

NaN

Решение № 21329:

Решим уравнение \(1 - 2 \sin^2 x = \frac{7}{3} \sin x\) пошагово.

1. Перепишем уравнение в стандартном виде: \[ 1 - 2 \sin^2 x = \frac{7}{3} \sin x \]
2. Вспомним основное тригонометрическое тождество: \[ 1 = \cos^2 x + \sin^2 x \] И используем его для переписывания уравнения: \[ \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin^2 x = \frac{7}{3} \sin x \] Упростим: \[ \cos^2 x - \sin^2 x = \frac{7}{3} \sin x \]
3. Используем формулу косинуса двойного угла: \[ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \] Подставим эту формулу в уравнение: \[ \cos 2x = \frac{7}{3} \sin x \]
4. Теперь у нас есть уравнение: \[ \cos 2x = \frac{7}{3} \sin x \] Подставим \(\sin x = y\): \[ \cos 2x = \frac{7}{3} y \] Используем формулу для косинуса двойного угла: \[ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x = 1 - 2y^2 \] Получим: \[ 1 - 2y^2 = \frac{7}{3} y \]
5. Перепишем уравнение в стандартном виде: \[ 1 - 2y^2 - \frac{7}{3} y = 0 \] Умножим все члены на 3, чтобы избавиться от дроби: \[ 3 - 6y^2 - 7y = 0 \] Перепишем уравнение: \[ 6y^2 + 7y - 3 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение \(6y^2 + 7y - 3 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 6\), \(b = 7\), \(c = -3\): \[ y = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3)}}{2 \cdot 6} \] \[ y = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 72}}{12} \] \[ y = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{12} \] \[ y = \frac{-7 \pm 11}{12} \] Решим для двух корней: \[ y_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] \[ y_2 = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} \]
7. Теперь \(y = \sin x\), у нас два значения: \[ \sin x = \frac{1}{3} \] \[ \sin x = -\frac{3}{2} \quad (\text{неверно, так как значение синуса не может быть меньше -1}) \] Значит, рассмотрим только: \[ \sin x = \frac{1}{3} \]
8. Найдем \(x\) из уравнения \(\sin x = \frac{1}{3}\): \[ x = \arcsin \left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin \left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{для} \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \arcsin \left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin \left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{для} \quad k \in \mathbb{Z}\)