Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(4sin^{2}x+cosx-3\frac{1}{2}=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21337:

1. Выражаем $\sin^2 x$ через $\cos x$: $4 \sin^2 x + \cos x - 3 \frac{1}{2} = 0$
2. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $4 (1 - \cos^2 x) + \cos x - 3 \frac{1}{2} = 0$
3. Упрощаем уравнение: $4 - 4 \cos^2 x + \cos x - 3 \frac{1}{2} = 0$
4. Преобразуем уравнение: $-4 \cos^2 x + \cos x + \frac{1}{2} = 0$
5. Умножаем все члены уравнения на $-1$ для удобства: $4 \cos^2 x - \cos x - \frac{1}{2} = 0$
6. Решаем квадратное уравнение относительно $\cos x$: $4 \cos^2 x - \cos x - \frac{1}{2} = 0$
7. Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + 8 = 9$
8. Находим корни квадратного уравнения: $\cos x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{8} = \frac{1 + 3}{8} = \frac{1}{2}$ или $\frac{1 - 3}{8} = -\frac{1}{4}$
9. Решаем уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$
10. Решаем уравнение $\cos x = -\frac{1}{4}$: $x = \pm \arccos \left(-\frac{1}{4}\right) + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pm \arccos \left(-\frac{1}{4}\right) + 2m\pi, \quad k, m \in \mathbb{Z}$