Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(2cos^{2}x+cosx-1=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21327:

Решим уравнение \(2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0\) пошагово.

1. Заменим \(\cos x\) на \(y\). Тогда уравнение примет вид: \(2y^2 + y - 1 = 0\)
2. Решим квадратное уравнение \(2y^2 + y - 1 = 0\). Для этого найдём дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]
3. Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня. Найдём эти корни: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4} \] \[ y_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ y_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
4. Теперь подставим найденные значения \(y\) обратно в \(\cos x\): \[ \cos x = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \cos x = -1 \]
5. Решим уравнение \(\cos x = \frac{1}{2}\): \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Решим уравнение \(\cos x = -1\): \[ x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\) или \(x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\)