Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(4sin^{2}x+2sinxcosx=3\)

Ответ

NaN

Решение № 21347:

Решим уравнение \(4 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 3\) пошагово.

1. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ 4 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 3 \] Выразим \(\cos^2 x\) через \(\sin^2 x\): \[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \]
2. Используем формулу двойного угла для синуса и косинуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Тогда: \[ 2 \sin x \cos x = \sin 2x \]
3. Подставляем \(\sin 2x\) в уравнение: \[ 4 \sin^2 x + \sin 2x = 3 \]
4. Заменяем \(\sin^2 x\) на \(\frac{1 - \cos 2x}{2}\) (используя формулу двойного угла для косинуса): \[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \] Тогда: \[ 4 \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) + \sin 2x = 3 \] Упрощаем: \[ 2(1 - \cos 2x) + \sin 2x = 3 \] \[ 2 - 2 \cos 2x + \sin 2x = 3 \] \[ \sin 2x - 2 \cos 2x = 1 \]
5. Решаем систему уравнений: \[ \begin{cases} \sin 2x - 2 \cos 2x = 1 \\ \sin^2 2x + \cos^2 2x = 1 \end{cases} \]
6. Выражаем \(\sin 2x\) через \(\cos 2x\): \[ \sin 2x = 1 + 2 \cos 2x \] Подставляем в \(\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1\): \[ (1 + 2 \cos 2x)^2 + \cos^2 2x = 1 \] Упрощаем: \[ 1 + 4 \cos 2x + 4 \cos^2 2x + \cos^2 2x = 1 \] \[ 5 \cos^2 2x + 4 \cos 2x = 0 \] \[ \cos 2x (5 \cos 2x + 4) = 0 \]
7. Решаем уравнение: \[ \cos 2x = 0 \quad \text{или} \quad 5 \cos 2x + 4 = 0 \] \[ \cos 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ 5 \cos 2x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos 2x = -\frac{4}{5} \quad \Rightarrow \quad 2x = \arccos \left(-\frac{4}{5}\right) + 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \arccos \left(-\frac{4}{5}\right) + \pi k \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \, n \in \mathbb{Z}, \quad x_2 = \frac{1}{2} \arccos \left(-\frac{4}{5}\right) + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}\)