Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(\frac{1}{sinx}-1=ctgx-cosx\)

Ответ

NaN

Решение № 21352:

Для решения уравнения \(\frac{1}{sinx}-1=ctgx-cosx\) выполним следующие шаги: 1. **Преобразуем котангенс**: \[ \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \] Подставим это в уравнение: \[ \frac{1}{\sin x} - 1 = \frac{\cos x}{\sin x} - \cos x \] 2. **Приведем к общему знаменателю**: \[ \frac{1 - \sin x}{\sin x} = \frac{\cos x - \cos x \sin x}{\sin x} \] 3. **Упростим выражение**: \[ \frac{1 - \sin x}{\sin x} = \frac{\cos x (1 - \sin x)}{\sin x} \] Так как \(\sin x \neq 0\) (иначе уравнение не имеет смысла), можно сократить на \(\sin x\): \[ 1 - \sin x = \cos x (1 - \sin x) \] 4. **Рассмотрим два случая**: - Случай 1: \(1 - \sin x = 0\) \[ \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z} \] - Случай 2: \(1 - \sin x \neq 0\) \[ 1 = \cos x \] \[ \cos x = 1 \implies x = 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z} \] 5. **Проверим решения**: - Для \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\): \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = 1, \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = 0 \] Подставляем в исходное уравнение: \[ \frac{1}{1} - 1 = \frac{0}{1} - 0 \implies 0 = 0 \] Решение верно. - Для \(x = 2\pi k\): \[ \sin(2\pi k) = 0, \quad \cos(2\pi k) = 1 \] Подставляем в исходное уравнение: \[ \frac{1}{0} - 1 = \frac{1}{0} - 1 \] Это приводит к неопределенности, поэтому \(x = 2\pi k\) не является решением. ### Ответ: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \, n \in \mathbb{Z} \]