Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(3cos^{2}x+10cosx+3=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21330:

Решим уравнение \(3 \cos^2 x + 10 \cos x + 3 = 0\) пошагово.

1. Заметим, что данное уравнение является квадратным относительно \(\cos x\). Запишем его в стандартной форме квадратного уравнения: \[ 3 (\cos x)^2 + 10 \cos x + 3 = 0 \]
2. Решим квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 3\), \(b = 10\), и \(c = 3\).
3. Вычислим дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \]
4. Теперь найдём корни уравнения: \[ \cos x = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 8}{6} \]
5. Рассчитаем два возможных значения \(\cos x\): \[ \cos x_1 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \] \[ \cos x_2 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \]
6. Значение \(\cos x_2 = -3\) невозможно, так как \(\cos x\) лежит в диапазоне \([-1, 1]\). Поэтому отбрасываем это значение.
7. Остаётся \(\cos x = -\frac{1}{3}\). Найдём \(x\): \[ x = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) \]
8. Так как \(\cos x = \cos(-x)\), то: \[ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)