Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(3tg^{2}x-4tgx+1=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21333:

Для решения уравнения \(3 \operatorname{tg}^2 x - 4 \operatorname{tg} x + 1 = 0\) выполним следующие шаги:

1. Подставим \( \operatorname{tg} x = t \). Тогда уравнение примет вид: \(3t^2 - 4t + 1 = 0\)
2. Решим квадратное уравнение \(3t^2 - 4t + 1 = 0\) с помощью формулы квадратного уравнения \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 3\), \(b = -4\), и \(c = 1\): \[ t = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6} \]
3. Вычислим корни: \[ t_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1, \quad t_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} \]
4. Вернёмся к переменной \(x\) и решим уравнения \(\operatorname{tg} x = 1\) и \(\operatorname{tg} x = \frac{1}{3}\): \[ \operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ \operatorname{tg} x = \frac{1}{3} \implies x = \arctg \frac{1}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
5. Таким образом, решения уравнения \(3 \operatorname{tg}^2 x - 4 \operatorname{tg} x + 1 = 0\) имеют вид: \[ x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x_2 = \arctg \frac{1}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x_2 = \arctg \frac{1}{3} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}\)