Решение №21248: Конечно, давайте решим уравнение \( \cos(5x) = 1 \) пошагово.

1. Применяем свойство косинуса: \(\cos(5x) = 1\) тогда и только тогда, когда \(5x = 2k\pi\), где \(k\) — целое число. Это связано с тем, что косинус равен 1 при угле, кратном \(2\pi\).
2. Решаем уравнение относительно \(x\): \(5x = 2k\pi\)
3. Делим обе части уравнения на 5: \(x = \frac{2k\pi}{5}\)
4. Получаем общее решение: \(x = \frac{2k\pi}{5}\), где \(k\) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{2k\pi}{5} \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: NaN

Решение №21249: Конечно, давайте решим уравнение \(2\cos x - \sqrt{2} = 0\) пошагово. ```html

1. Начнем с упрощения уравнения: \(2\cos x - \sqrt{2} = 0\)
2. Перенесем \(\sqrt{2}\) на другую сторону уравнения: \(2\cos x = \sqrt{2}\)
3. Разделим обе части уравнения на 2: \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
4. Используем знание о значениях косинуса: \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) при \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) или \(x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число
5. Запишем общее решение уравнения: \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) или \(x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число

Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) или \(x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число

Ответ: NaN

Решение №21250: Для решения уравнения \(5 \cos x + 6 = 0\) выполним следующие шаги:

1. Изолируем косинус: \[ 5 \cos x + 6 = 0 \] \[ 5 \cos x = -6 \] \[ \cos x = -\frac{6}{5} \]
2. Анализируем полученное значение: \[ \cos x = -\frac{6}{5} \] Значение косинуса \( \cos x \) должно находиться в диапазоне от -1 до 1. Однако, \[ -\frac{6}{5} \approx -1.2 \] Это значение выходит за пределы допустимого диапазона для косинуса.
3. Заключение: Так как \( \cos x \) не может принимать значение \( -\frac{6}{5} \), уравнение \( 5 \cos x + 6 = 0 \) не имеет решений.

Ответ: Решений нет.

Ответ: NaN

Решение №21251: Решим уравнение \(3 \cos x - 2 = 0\) пошагово:

1. Изолируем тригонометрическую функцию: \(3 \cos x - 2 = 0\) \(3 \cos x = 2\) \(\cos x = \frac{2}{3}\)
2. Используем обратную функцию косинуса для нахождения углов: \(x = \pm \arccos \left(\frac{2}{3}\right) + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
3. Найдем приближенные значения углов: \(x = \arccos \left(\frac{2}{3}\right) + 2k\pi\) \(x = -\arccos \left(\frac{2}{3}\right) + 2k\pi\)
4. Используем калькулятор для нахождения численных значений: \(\arccos \left(\frac{2}{3}\right) \approx 0.841\) \(-\arccos \left(\frac{2}{3}\right) \approx -0.841\)
5. Запишем решение в виде множества: \(x \approx 0.841 + 2k\pi\) \(x \approx -0.841 + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: \(x \approx 0.841 + 2k\pi\) и \(x \approx -0.841 + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21252: Конечно, давайте решим уравнение \(\sqrt{2} \cos 2x - 1 = 0\) пошагово.

1. Перепишем уравнение в более удобном виде: \(\sqrt{2} \cos 2x = 1\)
2. Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\): \(\cos 2x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
3. Найдём углы, для которых косинус равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Известно, что: \(\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\cos \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
4. Таким образом, \(2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) или \(2x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi\), где \(k\) — любое целое число.
5. Разделим обе части уравнения на 2: \(x = \frac{\pi}{8} + k\pi\) или \(x = \frac{7\pi}{8} + k\pi\), где \(k\) — любое целое число.

Ответ: \(x = \frac{\pi}{8} + k\pi\) или \(x = \frac{7\pi}{8} + k\pi\), где \(k\) — любое целое число.

Ответ: NaN

Решение №21253: Конечно, давайте решим уравнение \(2 \cos 3x - \sqrt{3} = 0\) пошагово, используя HTML-теги для выделения пунктов. 1. **Изолируем косинус:** \[ 2 \cos 3x = \sqrt{3} \] Делим обе части уравнения на 2: \[ \cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 2. **Находим углы, для которых косинус равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):** Косинус \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) достигается при углах \(\frac{\pi}{6}\) и \(-\frac{\pi}{6}\) (или \(\frac{11\pi}{6}\) в пределах одного периода \(2\pi\)). 3. **Применяем формулу для общего решения:** \[ 3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 4. **Разделяем на два случая:** \[ 3x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 3x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \] 5. **Решаем для \(x\):** \[ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] 6. **Объединяем решения:** \[ x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] **Ответ:** \[ x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21254: Конечно, давайте решим уравнение \(2 \cos \frac{x}{4} + \sqrt{2} = 0\) пошагово.

1. Изолируем тригонометрическую функцию: \[ 2 \cos \frac{x}{4} + \sqrt{2} = 0 \] \[ 2 \cos \frac{x}{4} = -\sqrt{2} \] \[ \cos \frac{x}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
2. Найдём углы, при которых косинус равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\). Известно, что \(\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) при \(\theta = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\) и \(\theta = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число. \[ \frac{x}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \]
3. Решим уравнения для \(x\): \[ \frac{x}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \] \[ x = 3\pi + 8k\pi \] \[ x = (8k + 3)\pi \] и \[ \frac{x}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \] \[ x = 5\pi + 8k\pi \] \[ x = (8k + 5)\pi \]
4. Таким образом, решениями уравнения являются: \[ x = (8k + 3)\pi \quad \text{и} \quad x = (8k + 5)\pi \] где \(k\) — целое число.

Ответ: \(x = (8k + 3)\pi \quad \text{и} \quad x = (8k + 5)\pi\), где \(k\) — целое число.

Ответ: NaN

Решение №21255: Конечно, давайте решим уравнение \(2 \cos \frac{3x}{4} + 1 = 0\) пошагово.

1. Изолируем косинус: \[ 2 \cos \frac{3x}{4} + 1 = 0 \] \[ 2 \cos \frac{3x}{4} = -1 \] \[ \cos \frac{3x}{4} = -\frac{1}{2} \]
2. Используем значение косинуса для известного угла: \[ \cos \theta = -\frac{1}{2} \quad \text{при} \quad \theta = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Тогда: \[ \frac{3x}{4} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
3. Решаем уравнение для \(x\): \[ \frac{3x}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{или} \quad \frac{3x}{4} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \] В первом случае: \[ 3x = \frac{8\pi}{3} + 8\pi k \] \[ x = \frac{8\pi}{9} + \frac{32\pi k}{9} \] Во втором случае: \[ 3x = -\frac{8\pi}{3} + 8\pi k \] \[ x = -\frac{8\pi}{9} + \frac{32\pi k}{9} \]
4. Объединяем решения: \[ x = \pm \frac{8\pi}{9} + \frac{32\pi k}{9}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \pm \frac{8\pi}{9} + \frac{32\pi k}{9}, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21256: Решим уравнение \(3\cos\frac{2x}{3}-2=0\) пошагово:

1. Изолируем тригонометрическую функцию: \[ 3\cos\frac{2x}{3} - 2 = 0 \implies 3\cos\frac{2x}{3} = 2 \implies \cos\frac{2x}{3} = \frac{2}{3} \]
2. Найдём углы, для которых \(\cos\theta = \frac{2}{3}\). Для этого используем обратную функцию косинуса: \[ \frac{2x}{3} = \pm \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
3. Разделим на два случая:
   • Для \(\frac{2x}{3} = \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k\): \[ x = \frac{3}{2} \left( \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k \right) = \frac{3}{2} \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 3\pi k \]
   • Для \(\frac{2x}{3} = -\arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k\): \[ x = \frac{3}{2} \left( -\arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k \right) = -\frac{3}{2} \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 3\pi k \]
4. Объединим решения: \[ x = \pm \frac{3}{2} \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 3\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \pm \frac{3}{2} \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 3\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21257: Конечно, давайте решим уравнение \(4 \cos \frac{5x}{6} - 1 = 0\) пошагово.

1. Изолируем косинус: \[ 4 \cos \frac{5x}{6} - 1 = 0 \implies 4 \cos \frac{5x}{6} = 1 \implies \cos \frac{5x}{6} = \frac{1}{4} \]
2. Решим уравнение \(\cos \frac{5x}{6} = \frac{1}{4}\). Для этого нужно найти значения \(y\), такие что \(\cos y = \frac{1}{4}\).
3. Используем обратную функцию косинуса: \[ y = \arccos \frac{1}{4} \]
4. Таким образом, \(\frac{5x}{6} = \arccos \frac{1}{4} + 2k\pi\) или \(\frac{5x}{6} = -\arccos \frac{1}{4} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.
5. Решим для \(x\): \[ x = \frac{6}{5} \left( \arccos \frac{1}{4} + 2k\pi \right) \quad \text{или} \quad x = \frac{6}{5} \left( -\arccos \frac{1}{4} + 2k\pi \right) \]
6. Таким образом, решения уравнения: \[ x = \frac{6}{5} \arccos \frac{1}{4} + \frac{12}{5}k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{6}{5} \arccos \frac{1}{4} + \frac{12}{5}k\pi \]

Ответ: \[ x = \frac{6}{5} \arccos \frac{1}{4} + \frac{12}{5}k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{6}{5} \arccos \frac{1}{4} + \frac{12}{5}k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21258: Конечно, давайте решим уравнение \( \cos\left(-\frac{x}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) пошагово:

1. Используем свойство чётности функции косинуса: \[ \cos\left(-\frac{x}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{4}\right) \]
2. Заменяем аргумент в уравнении: \[ \cos\left(\frac{x}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
3. Используем известное значение косинуса: \[ \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Таким образом, \[ \frac{x}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi \] где \( k \) — целое число.
4. Решаем для \( x \): \[ x = 4\left(\frac{3\pi}{4} + 2k\pi\right) \quad \text{или} \quad x = 4\left(-\frac{3\pi}{4} + 2k\pi\right) \]
5. Упрощаем выражения: \[ x = 3\pi + 8k\pi \quad \text{или} \quad x = -3\pi + 8k\pi \]
6. Объединяем решения: \[ x = 3\pi(1 + 2k) \quad \text{или} \quad x = -3\pi(1 + 2k) \]
7. Записываем окончательный ответ: \[ x = 3\pi(4k + 1) \quad \text{или} \quad x = 3\pi(4k - 1) \] где \( k \) — целое число.

Ответ: \( x = 3\pi(4k + 1) \) или \( x = 3\pi(4k - 1) \), где \( k \) — целое число.

Ответ: NaN

Решение №21259: Конечно, давайте решим уравнение \( \cos(1 - x) = 0 \) пошагово.

1. Уравнение \( \cos(1 - x) = 0 \) имеет решение, когда аргумент косинуса равен \( \frac{\pi}{2} + k\pi \), где \( k \) — целое число. То есть: \[ 1 - x = \frac{\pi}{2} + k\pi \]
2. Решим это уравнение относительно \( x \): \[ x = 1 - \frac{\pi}{2} - k\pi \]
3. Упростим выражение: \[ x = 1 - \frac{\pi}{2} - k\pi = 1 - \left( \frac{\pi}{2} + k\pi \right) = 1 - \frac{\pi}{2} - k\pi \]
4. Таким образом, решение уравнения \( \cos(1 - x) = 0 \) запишется в виде: \[ x = 1 - \frac{\pi}{2} - k\pi \] где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = 1 - \frac{\pi}{2} - k\pi \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: NaN

Решение №21260: Решим уравнение \( \sin x - 1 = 0 \) пошагово.

1. Запишем исходное уравнение: \[ \sin x - 1 = 0 \]
2. Добавим 1 к обеим сторонам уравнения: \[ \sin x = 1 \]
3. Решим уравнение \( \sin x = 1 \). Значение синуса равно 1 при \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \), где \( k \) — целое число. \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]
4. Выразим общее решение: \[ x = \frac{\pi}{2} (4k + 1) \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} (4k + 1) \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN

Решение №21261: Решим уравнение \(2 \sin x + 1 = 0\) пошагово. ### Шаг 1: Изолируем синусоидальную функцию Изолируем синусоидальную функцию, чтобы упростить решение уравнения. \[ 2 \sin x + 1 = 0 \] Вычтем 1 из обеих сторон уравнения: \[ 2 \sin x = -1 \] ### Шаг 2: Решим уравнение для \(\sin x\) Разделим обе стороны уравнения на 2: \[ \sin x = -\frac{1}{2} \] ### Шаг 3: Найдём значения \(x\), при которых \(\sin x = -\frac{1}{2}\) Известно, что \(\sin x = -\frac{1}{2}\) при \(x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число. Это следует из того, что синус равен \(-\frac{1}{2}\) в этих точках. ### Шаг 4: Запишем общее решение Таким образом, общее решение уравнения \(2 \sin x + 1 = 0\) будет: \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Заключение

Ответ: \( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN

Решение №21262: Конечно, давайте решим уравнение \( \sin x = \sqrt{2} \) пошагово.

1. Рассмотрим значение \(\sqrt{2}\): \( \sqrt{2} \approx 1.414 \)
2. Вспомним диапазон значений функции синуса: \( \sin x \) может принимать значения только в интервале \([-1, 1]\).
3. Сравним \(\sqrt{2}\) с диапазоном значений синуса: \( \sqrt{2} \approx 1.414 \) не попадает в интервал \([-1, 1]\).
4. Сделаем вывод: Поскольку \(\sqrt{2}\) не попадает в диапазон значений функции синуса, уравнение \( \sin x = \sqrt{2} \) не имеет решений.

Ответ: Уравнение \( \sin x = \sqrt{2} \) не имеет решений.

Ответ: NaN

Решение №21263: Конечно, давайте решим уравнение \(2 \sin x + \sqrt{3} = 0\) пошагово.

1. Изолируем синусоидальную функцию: \(2 \sin x + \sqrt{3} = 0\)
   \(2 \sin x = -\sqrt{3}\)
2. Разделим обе стороны уравнения на 2: \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
3. Найдем углы, при которых \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Это происходит при: \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\) и \(x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.

Ответ: \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\) и \(x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.

Ответ: NaN

Решение №21264: Для решения уравнения \(4\sin x - 3 = 0\), следуем следующим шагам:

1. Изолируем тригонометрическую функцию: \[ 4\sin x - 3 = 0 \implies 4\sin x = 3 \implies \sin x = \frac{3}{4} \]
2. Находим углы \(x\), для которых \(\sin x = \frac{3}{4}\).
   Уравнение \(\sin x = \frac{3}{4}\) имеет два решения в интервале \([0, 2\pi)\): \[ x_1 = \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) \] \[ x_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) \]
3. Записываем общее решение, учитывая периодичность функции синуса: \[ x = \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) + 2k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) + 2k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21265:

1. Выделяем \( \sin x \) из уравнения: \[ 3 \sin x + 2 = 0 \implies 3 \sin x = -2 \implies \sin x = -\frac{2}{3} \]
2. Определяем возможные значения \( x \) для \( \sin x = -\frac{2}{3} \). Согласно основному тригонометрическому свойству синуса, \( \sin x = -\frac{2}{3} \) имеет решения в интервале \( [0, 2\pi] \): \[ x = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \quad \text{и} \quad x = \pi + \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \]
3. Формулируем общее решение уравнения \( \sin x = -\frac{2}{3} \). Учитывая периодичность функции синуса, общее решение будет: \[ x = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \pi + \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2k\pi \) и \( x = \pi + \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN

Решение №21266: Решим уравнение \(2 \sin \frac{x}{3} - 1 = 0\) пошагово:

1. Изолируем синусоидальную функцию: \[ 2 \sin \frac{x}{3} - 1 = 0 \implies 2 \sin \frac{x}{3} = 1 \]
2. Разделим обе стороны уравнения на 2: \[ \sin \frac{x}{3} = \frac{1}{2} \]
3. Найдём все возможные значения угла \(\frac{x}{3}\), для которых \(\sin \frac{x}{3} = \frac{1}{2}\). Известно, что \(\sin \theta = \frac{1}{2}\) при \(\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(\theta = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\): \[ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \]
4. Решим эти уравнения относительно \(x\): \[ x = 3 \left( \frac{\pi}{6} + 2k\pi \right) = \frac{\pi}{2} + 6k\pi \] \[ x = 3 \left( \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \right) = 3\pi - \frac{\pi}{2} + 6k\pi = \frac{5\pi}{2} + 6k\pi \]
5. Таким образом, решения уравнения \(2 \sin \frac{x}{3} - 1 = 0\) будут: \[ x = \frac{\pi}{2} + 6k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{2} + 6k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} + 6k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{2} + 6k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21267: Решим уравнение \(2 \sin \frac{x}{4} - \sqrt{2} = 0\) пошагово:

1. Изолируем тригонометрическую функцию: \[ 2 \sin \frac{x}{4} = \sqrt{2} \]
2. Разделим обе части уравнения на 2: \[ \sin \frac{x}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
3. Определим углы, при которых синус равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Это углы \(\frac{\pi}{4}\) и \(\frac{3\pi}{4}\): \[ \frac{x}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
4. Решим уравнения для \(x\): \[ x = 4 \left( \frac{\pi}{4} + 2k\pi \right) \quad \text{или} \quad x = 4 \left( \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \right) \] \[ x = \pi + 8k\pi \quad \text{или} \quad x = 3\pi + 8k\pi \] \[ x = \pi (8k + 1) \quad \text{или} \quad x = \pi (8k + 3), \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \pi (8k + 1) \quad \text{или} \quad x = \pi (8k + 3), \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21268: Конечно, давайте решим уравнение \(2 \sin 5x + \sqrt{3} = 0\) пошагово, выделяя каждый пункт в HTML теги.

1. Изолируем синусоидальную функцию: \(2 \sin 5x + \sqrt{3} = 0\)
2. Вычтем \(\sqrt{3}\) из обеих частей уравнения: \(2 \sin 5x = -\sqrt{3}\)
3. Разделим обе части уравнения на 2: \(\sin 5x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
4. Найдем углы \(5x\), для которых \(\sin 5x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Известно, что \(\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) при \(\theta = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\) или \(\theta = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число.
5. Таким образом, имеем два семейства решений для \(5x\): \(5x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\) или \(5x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi\)
6. Разделим обе части уравнения на 5: \(x = \frac{4\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5}\) или \(x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{5}\)

Ответ: \(x = \frac{4\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5}\) или \(x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{5}\), где \(k\) — целое число.

Ответ: NaN

Решение №21269:

1. Начнем с уравнения: \(\sqrt{2} \sin 7x + 1 = 0\)
2. Изолируем синусоидальную функцию: \(\sqrt{2} \sin 7x = -1\)
3. Разделим обе стороны на \(\sqrt{2}\): \(\sin 7x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
4. Решим уравнение для \(\sin 7x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\): \(7x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
5. Разделим обе стороны на 7: \(x = \frac{(-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k}{7}\)
6. Упростим выражение: \(x = \frac{(-1)^{k+1} \pi}{28} + \frac{\pi k}{7}\)

Ответ: \(x = \frac{(-1)^{k+1} \pi}{28} + \frac{\pi k}{7}\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21270: Решим уравнение \( \sin\left( \frac{1}{2}x - 1 \right) = \frac{1}{2} \) пошагово:

1. Используем известное значение синуса: \( \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \) и \( \sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \).
2. Следовательно, уравнение \( \sin \left( \frac{1}{2}x - 1 \right) = \frac{1}{2} \) эквивалентно следующим системам: \[ \begin{cases} \frac{1}{2}x - 1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ \frac{1}{2}x - 1 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \end{cases} \] где \( k \in \mathbb{Z} \).
3. Решаем первое уравнение: \[ \frac{1}{2}x - 1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] \[ \frac{1}{2}x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi + 1 \] \[ \frac{1}{2}x = \frac{\pi}{6} + \frac{12k\pi + 6}{6} \] \[ \frac{1}{2}x = \frac{\pi + 12k\pi + 6}{6} \] \[ x = 2 \left( \frac{\pi + 12k\pi + 6}{6} \right) \] \[ x = \frac{2(\pi + 12k\pi + 6)}{6} \] \[ x = \frac{\pi + 12k\pi + 6}{3} \] \[ x = \frac{\pi}{3} + 4k\pi + 2 \]
4. Решаем второе уравнение: \[ \frac{1}{2}x - 1 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] \[ \frac{1}{2}x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi + 1 \] \[ \frac{1}{2}x = \frac{5\pi}{6} + \frac{12k\pi + 6}{6} \] \[ \frac{1}{2}x = \frac{5\pi + 12k\pi + 6}{6} \] \[ x = 2 \left( \frac{5\pi + 12k\pi + 6}{6} \right) \] \[ x = \frac{2(5\pi + 12k\pi + 6)}{6} \] \[ x = \frac{5\pi + 12k\pi + 6}{3} \] \[ x = \frac{5\pi}{3} + 4k\pi + 2 \]
5. Таким образом, решения уравнения \( \sin\left( \frac{1}{2}x - 1 \right) = \frac{1}{2} \) имеют вид: \[ x = \frac{\pi}{3} + 4k\pi + 2 \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 4k\pi + 2 \] где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{3} + 4k\pi + 2 \) или \( x = \frac{5\pi}{3} + 4k\pi + 2 \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: NaN

Решение №21271: Для решения уравнения \( \sin(-8x) = \frac{2}{9} \) выполним следующие шаги:

1. Используем свойство нечётности синуса: \[ \sin(-8x) = -\sin(8x) \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ -\sin(8x) = \frac{2}{9} \] или \[ \sin(8x) = -\frac{2}{9} \]
2. Решим уравнение \( \sin(8x) = -\frac{2}{9} \). Обозначим \( y = 8x \). Тогда уравнение принимает вид: \[ \sin(y) = -\frac{2}{9} \]
3. Решим уравнение \( \sin(y) = -\frac{2}{9} \). Общее решение уравнения \( \sin(y) = a \) имеет вид: \[ y = (-1)^k \arcsin(a) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] В нашем случае \( a = -\frac{2}{9} \), поэтому: \[ y = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{2}{9}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Учитывая, что \( \arcsin(-a) = -\arcsin(a) \), получаем: \[ y = (-1)^k \left(-\arcsin\left(\frac{2}{9}\right)\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] или \[ y = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{2}{9}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
4. Подставляем \( y = 8x \) обратно в уравнение: \[ 8x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{2}{9}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Решая уравнение относительно \( x \), получаем: \[ x = \frac{(-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{2}{9}\right) + k\pi}{8}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \frac{(-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{2}{9}\right) + k\pi}{8}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21272:

1. Начнем с исходного уравнения: \[ \operatorname{tg} x + \sqrt{3} = 0 \]
2. Изолируем \(\operatorname{tg} x\): \[ \operatorname{tg} x = -\sqrt{3} \]
3. Используем тождество для тангенса: \[ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \] и подставим значение: \[ \frac{\sin x}{\cos x} = -\sqrt{3} \]
4. Рассмотрим уравнение \(\sin x = -\sqrt{3} \cos x\). Это уравнение можно переписать как: \[ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 0 \]
5. Используем формулу суммы синусов: \[ \sin(x + \frac{\pi}{3}) = 0 \]
6. Решаем уравнение \(\sin(x + \frac{\pi}{3}) = 0\): \[ x + \frac{\pi}{3} = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Выражаем \(x\): \[ x = k\pi - \frac{\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = k\pi - \frac{\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21273: Конечно, давайте решим уравнение \(\sqrt{3} \tan x - 1 = 0\) пошагово. 1. **Избавляемся от тригонометрической функции:** \(\sqrt{3} \tan x - 1 = 0\) 2. **Изолируем \(\tan x\):** \(\sqrt{3} \tan x = 1\) 3. **Решаем относительно \(\tan x\):** \(\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}\) 4. **Используем знание о значениях тангенса углов:** \(\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}\) 5. **Находим все возможные решения:** \(x = \frac{\pi}{6} + k\pi\), где \(k\) — целое число. Таким образом, решение уравнения \(\sqrt{3} \tan x - 1 = 0\) имеет вид: \[ x = \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN

Решение №21274: Конечно, давайте решим уравнение \(2 \tan(x) - 3 = 0\) пошагово.

1. Изолируем \( \tan(x) \) в уравнении: \( 2 \tan(x) - 3 = 0 \)
2. Перенесём 3 на другую сторону уравнения: \( 2 \tan(x) = 3 \)
3. Разделим обе стороны уравнения на 2: \( \tan(x) = \frac{3}{2} \)
4. Решим уравнение относительно \( x \): \( x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN

Решение №21275: Для решения уравнения \( \operatorname{tg} x = -4.7 \) выполним следующие шаги: 1. **Представим тангенс через синус и косинус**: \[ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \] То есть: \[ \frac{\sin x}{\cos x} = -4.7 \] 2. **Используем тождество Пифагора**: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Пусть \( \operatorname{tg} x = t \). Тогда: \[ t = -4.7 \] 3. **Выразим \(\sin x\) и \(\cos x\) через \( t \)**: \[ \sin x = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}, \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} \] Подставим \( t = -4.7 \): \[ \sin x = \frac{-4.7}{\sqrt{1 + (-4.7)^2}}, \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + (-4.7)^2}} \] 4. **Вычислим значение под корнем**: \[ 1 + (-4.7)^2 = 1 + 22.09 = 23.09 \] 5. **Найдём \(\sin x\) и \(\cos x\)**: \[ \sin x = \frac{-4.7}{\sqrt{23.09}}, \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{23.09}} \] 6. **Вычислим значение корня**: \[ \sqrt{23.09} \approx 4.805 \] 7. **Подставим значение корня**: \[ \sin x \approx \frac{-4.7}{4.805} \approx -0.978, \quad \cos x \approx \frac{1}{4.805} \approx 0.208 \] 8. **Найдём угол \( x \)**: \[ x = \arctan(-4.7) \] Учитывая периодичность тангенса, угол \( x \) может быть выражен как: \[ x = \arctan(-4.7) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] 9. **Вычислим \(\arctan(-4.7)\)**: \[ \arctan(-4.7) \approx -1.360 \] 10. **Запишем окончательное решение**: \[ x = -1.360 + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

1. Представим тангенс через синус и косинус: \[ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \] То есть: \[ \frac{\sin x}{\cos x} = -4.7 \]
2. Используем тождество Пифагора: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Пусть \( \operatorname{tg} x = t \). Тогда: \[ t = -4.7 \]
3. Выразим \(\sin x\) и \(\cos x\) через \( t \): \[ \sin x = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}, \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} \] Подставим \( t = -4.7 \): \[ \sin x = \frac{-4.7}{\sqrt{1 + (-4.7)^2}}, \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + (-4.7)^2}} \]
4. Вычислим значение под корнем: \[ 1 + (-4.7)^2 = 1 + 22.09 = 23.09 \]
5. Найдём \(\sin x\) и \(\cos x\): \[ \sin x = \frac{-4.7}{\sqrt{23.09}}, \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{23.09}} \]
6. Вычислим значение корня: \[ \sqrt{23.09} \approx 4.805 \]
7. Подставим значение корня: \[ \sin x \approx \frac{-4.7}{4.805} \approx -0.978, \quad \cos x \approx \frac{1}{4.805} \approx 0.208 \]
8. Найдём угол \( x \): \[ x = \arctan(-4.7) \] Учитывая периодичность тангенса, угол \( x \) может быть выражен как: \[ x = \arctan(-4.7) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
9. Вычислим \(\arctan(-4.7)\): \[ \arctan(-4.7) \approx -1.360 \]
10. Запишем окончательное решение: \[ x = -1.360 + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = -1.360 + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN

Решение №21276: Конечно, давайте решим уравнение \( \operatorname{tg}(6x) = -1 \) пошагово: ```html

1. Уравнение \( \operatorname{tg}(6x) = -1 \) можно переписать через арктангенс: \( 6x = \operatorname{arctg}(-1) + k\pi \), где \( k \) — целое число.
2. Значение \( \operatorname{arctg}(-1) \) равно \( -\frac{\pi}{4} \). Таким образом, уравнение становится: \( 6x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \).
3. Решаем уравнение относительно \( x \): \( x = \frac{-\frac{\pi}{4} + k\pi}{6} \).
4. Упрощаем выражение: \( x = \frac{-\frac{\pi}{4} + k\pi}{6} = \frac{-\pi/4 + k\pi}{6} = \frac{-\pi + 4k\pi}{24} = \frac{(4k - 1)\pi}{24} \).
5. Таким образом, решение уравнения: \( x = \frac{(4k - 1)\pi}{24} \), где \( k \) — целое число.

Ответ: \( x = \frac{(4k - 1)\pi}{24} \), где \( k \) — целое число.

Ответ: NaN

Решение №21277: Конечно, давайте решим уравнение \( \tan \frac{x}{5} = 0 \) пошагово.

1. Начнем с записи уравнения: \(\tan \frac{x}{5} = 0\)
2. Используем свойство тангенса: \(\tan \theta = 0 \) тогда и только тогда, когда \(\theta = k\pi\), где \(k\) — целое число.
3. Подставляем \(\theta = \frac{x}{5}\): \(\frac{x}{5} = k\pi\)
4. Решаем относительно \(x\): \(x = 5k\pi\)
5. Таким образом, решение уравнения: \(x = 5k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: \(x = 5k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN