Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, простейшие тригонометрические уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(sin(-8x)=\frac{2}{9}\)
Ответ
NaN
Решение № 21271:
Для решения уравнения \( \sin(-8x) = \frac{2}{9} \) выполним следующие шаги:
- Используем свойство нечётности синуса:
\[ \sin(-8x) = -\sin(8x) \]
Таким образом, уравнение принимает вид:
\[ -\sin(8x) = \frac{2}{9} \]
или
\[ \sin(8x) = -\frac{2}{9} \]
- Решим уравнение \( \sin(8x) = -\frac{2}{9} \).
Обозначим \( y = 8x \). Тогда уравнение принимает вид:
\[ \sin(y) = -\frac{2}{9} \]
- Решим уравнение \( \sin(y) = -\frac{2}{9} \).
Общее решение уравнения \( \sin(y) = a \) имеет вид:
\[ y = (-1)^k \arcsin(a) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
В нашем случае \( a = -\frac{2}{9} \), поэтому:
\[ y = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{2}{9}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Учитывая, что \( \arcsin(-a) = -\arcsin(a) \), получаем:
\[ y = (-1)^k \left(-\arcsin\left(\frac{2}{9}\right)\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
или
\[ y = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{2}{9}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
- Подставляем \( y = 8x \) обратно в уравнение:
\[ 8x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{2}{9}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Решая уравнение относительно \( x \), получаем:
\[ x = \frac{(-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{2}{9}\right) + k\pi}{8}, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Ответ:
\[ x = \frac{(-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{2}{9}\right) + k\pi}{8}, \quad k \in \mathbb{Z} \]