Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, простейшие тригонометрические уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(sin\left ( \frac{1}{2}x-1 \right )=\frac{1}{2}\)
Ответ
NaN
Решение № 21270:
Решим уравнение \( \sin\left( \frac{1}{2}x - 1 \right) = \frac{1}{2} \) пошагово:
- Используем известное значение синуса:
\( \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \) и \( \sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \).
- Следовательно, уравнение \( \sin \left( \frac{1}{2}x - 1 \right) = \frac{1}{2} \) эквивалентно следующим системам:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{2}x - 1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\
\frac{1}{2}x - 1 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi
\end{cases}
\]
где \( k \in \mathbb{Z} \).
- Решаем первое уравнение:
\[
\frac{1}{2}x - 1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi
\]
\[
\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi + 1
\]
\[
\frac{1}{2}x = \frac{\pi}{6} + \frac{12k\pi + 6}{6}
\]
\[
\frac{1}{2}x = \frac{\pi + 12k\pi + 6}{6}
\]
\[
x = 2 \left( \frac{\pi + 12k\pi + 6}{6} \right)
\]
\[
x = \frac{2(\pi + 12k\pi + 6)}{6}
\]
\[
x = \frac{\pi + 12k\pi + 6}{3}
\]
\[
x = \frac{\pi}{3} + 4k\pi + 2
\]
- Решаем второе уравнение:
\[
\frac{1}{2}x - 1 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi
\]
\[
\frac{1}{2}x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi + 1
\]
\[
\frac{1}{2}x = \frac{5\pi}{6} + \frac{12k\pi + 6}{6}
\]
\[
\frac{1}{2}x = \frac{5\pi + 12k\pi + 6}{6}
\]
\[
x = 2 \left( \frac{5\pi + 12k\pi + 6}{6} \right)
\]
\[
x = \frac{2(5\pi + 12k\pi + 6)}{6}
\]
\[
x = \frac{5\pi + 12k\pi + 6}{3}
\]
\[
x = \frac{5\pi}{3} + 4k\pi + 2
\]
- Таким образом, решения уравнения \( \sin\left( \frac{1}{2}x - 1 \right) = \frac{1}{2} \) имеют вид:
\[
x = \frac{\pi}{3} + 4k\pi + 2 \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 4k\pi + 2
\]
где \( k \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( x = \frac{\pi}{3} + 4k\pi + 2 \) или \( x = \frac{5\pi}{3} + 4k\pi + 2 \), где \( k \in \mathbb{Z} \).