Решение №21882: Решим уравнение \(7 \sin^2 6x - 8 \cos 6x = 7\) для \(45^\circ < x < 90^\circ\) пошагово:

1. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 6x = 1 - \cos^2 6x\): \[ 7 (1 - \cos^2 6x) - 8 \cos 6x = 7 \]
2. Упрощаем уравнение: \[ 7 - 7 \cos^2 6x - 8 \cos 6x = 7 \] \[ -7 \cos^2 6x - 8 \cos 6x = 0 \]
3. Выносим \(\cos 6x\) за скобки: \[ \cos 6x (-7 \cos 6x - 8) = 0 \]
4. Разделяем на два уравнения: \[ \cos 6x = 0 \quad \text{или} \quad -7 \cos 6x - 8 = 0 \]
5. Решаем первое уравнение \(\cos 6x = 0\): \[ 6x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{6} \] Учитывая \(45^\circ < x < 90^\circ\): \[ \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{6} < \frac{\pi}{2} \] Решая неравенство: \[ \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{6} < \frac{\pi}{2} \] \[ \frac{3\pi}{12} < \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{6} < \frac{6\pi}{12} \] \[ 2 < 2k < 5 \] \[ 1 < k < 2.5 \] Единственное целое значение \(k = 2\): \[ x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \]
6. Решаем второе уравнение \(-7 \cos 6x - 8 = 0\): \[ -7 \cos 6x = 8 \] \[ \cos 6x = -\frac{8}{7} \] Это уравнение не имеет решений, так как \(|\cos 6x| \leq 1\).

Ответ: \(x = \frac{\pi}{2}\)

Ответ: NaN

Решение №21883: Для решения уравнения \(2 \cos^2(x-10^{\circ}) - 7 \cos(x-10^{\circ}) + 3 = 0\) при \(270^{\circ} < x < 360^{\circ}\), выполним следующие шаги:

1. Перепишем уравнение в стандартной форме квадратного уравнения: \[2 \cos^2(x-10^{\circ}) - 7 \cos(x-10^{\circ}) + 3 = 0\]
2. Сделаем замену \(y = \cos(x-10^{\circ})\). Тогда уравнение примет вид: \[2y^2 - 7y + 3 = 0\]
3. Решим квадратное уравнение \(2y^2 - 7y + 3 = 0\), используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): \[y = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4}\]
4. Вычислим значения корней: \[y = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3\] \[y = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]
5. Так как \(\cos(x-10^{\circ})\) должен принимать значения в диапазоне \([-1, 1]\), отбросим неподходящее значение \(y = 3\). Остаётся: \[y = \frac{1}{2}\]
6. Теперь решим уравнение \(\cos(x-10^{\circ}) = \frac{1}{2}\). Для этого найдём \(x\): \[x - 10^{\circ} = \pm 60^{\circ} + 360^{\circ}k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}\]
7. Рассмотрим положительный и отрицательный случаи: \[x = 70^{\circ} + 360^{\circ}k\] \[x = -50^{\circ} + 360^{\circ}k\]
8. Учитывая условие \(270^{\circ} < x < 360^{\circ}\), найдём подходящие значения \(x\): \[x = 70^{\circ} + 360^{\circ}k \text{ не подходит, так как не попадает в интервал}\] \[x = -50^{\circ} + 360^{\circ}k = 310^{\circ} \text{ (при } k = 1\text{)}\]
9. Таким образом, единственное значение \(x\), удовлетворяющее условию, это: \[x = 310^{\circ}\]

Ответ: \(x = 310^{\circ}\)

Ответ: NaN

Решение №21884: Для решения уравнения \( \cos^2(\pi x) + \frac{3\sqrt{2}}{2} \sin(\pi x) = 2 \) при условии \( |x| \leq \frac{1}{2} \), выполним следующие шаги:

1. Введем замену \( t = \sin(\pi x) \). Тогда уравнение принимает вид: \[ \cos^2(\pi x) = 1 - \sin^2(\pi x) = 1 - t^2 \] Подставляем это в исходное уравнение: \[ 1 - t^2 + \frac{3\sqrt{2}}{2} t = 2 \]
2. Переносим все члены в одну сторону уравнения: \[ 1 - t^2 + \frac{3\sqrt{2}}{2} t - 2 = 0 \] Упрощаем: \[ -t^2 + \frac{3\sqrt{2}}{2} t - 1 = 0 \]
3. Умножаем все члены уравнения на -1: \[ t^2 - \frac{3\sqrt{2}}{2} t + 1 = 0 \]
4. Решаем квадратное уравнение \( t^2 - \frac{3\sqrt{2}}{2} t + 1 = 0 \) с помощью формулы квадратного уравнения \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -\frac{3\sqrt{2}}{2} \), \( c = 1 \): \[ t = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \]
5. Вычисляем дискриминант: \[ \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 4 = \frac{18}{4} - 4 = \frac{18}{4} - \frac{16}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
6. Подставляем дискриминант в формулу: \[ t = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{2}}}{2} \] Упрощаем: \[ t = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \] \[ t = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{4} \] \[ t = \frac{\sqrt{2}(3 \pm 1)}{4} \]
7. Находим значения \( t \): \[ t_1 = \frac{\sqrt{2}(3 + 1)}{4} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2} \] \[ t_2 = \frac{\sqrt{2}(3 - 1)}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
8. Проверяем, какие значения \( t \) удовлетворяют условию \( |x| \leq \frac{1}{2} \). Для этого возвращаемся к замене \( t = \sin(\pi x) \): \[ \sin(\pi x) = \sqrt{2} \quad \text{(невозможно, так как } \sin(\pi x) \leq 1) \] \[ \sin(\pi x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
9. Решаем уравнение \( \sin(\pi x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ \pi x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \pi x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \] Учитывая условие \( |x| \leq \frac{1}{2} \), находим: \[ x = \frac{1}{4} \quad \text{или} \quad x = \frac{3}{4} \quad \text{(не удовлетворяет условию } |x| \leq \frac{1}{2}) \]
10. Таким образом, единственное решение, удовлетворяющее условию \( |x| \leq \frac{1}{2} \): \[ x = \frac{1}{4} \]

Ответ: \( x = \frac{1}{4} \)

Ответ: NaN

Решение №21885: Для решения уравнения \(2\cos^2 x + 5\sin x = 8\) на интервале \([0; 16]\), выполним следующие шаги: 1. **Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\):** \[ 2\cos^2 x + 5\sin x = 8 \] Подставляем \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\): \[ 2(1 - \sin^2 x) + 5\sin x = 8 \] Упрощаем: \[ 2 - 2\sin^2 x + 5\sin x = 8 \] Переносим все члены на одну сторону: \[ -2\sin^2 x + 5\sin x + 2 - 8 = 0 \] Упрощаем: \[ -2\sin^2 x + 5\sin x - 6 = 0 \] Умножаем все на \(-1\), чтобы получить стандартное квадратное уравнение: \[ 2\sin^2 x - 5\sin x + 6 = 0 \] 2. **Решаем квадратное уравнение \(2\sin^2 x - 5\sin x + 6 = 0\):** Найдём дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 25 - 48 = -23 \] Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет реальных решений. 3. **Проверяем возможные ошибки и пересчитываем:** Возможно, мы допустили ошибку в преобразованиях. Давайте вернёмся к исходному уравнению и повторим шаги. \[ 2\cos^2 x + 5\sin x = 8 \] Подставляем \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\): \[ 2(1 - \sin^2 x) + 5\sin x = 8 \] Упрощаем: \[ 2 - 2\sin^2 x + 5\sin x = 8 \] Переносим все члены на одну сторону: \[ -2\sin^2 x + 5\sin x + 2 - 8 = 0 \] Упрощаем: \[ -2\sin^2 x + 5\sin x - 6 = 0 \] Умножаем все на \(-1\), чтобы получить стандартное квадратное уравнение: \[ 2\sin^2 x - 5\sin x + 6 = 0 \] 4. **Решаем квадратное уравнение \(2\sin^2 x - 5\sin x + 6 = 0\):** Найдём дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 25 - 48 = -23 \] Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет реальных решений. 5. **Заключение:** Уравнение \(2\cos^2 x + 5\sin x = 8\) не имеет реальных решений на интервале \([0; 16]\).

Ответ: Нет решений.

Ответ: NaN

Решение №21886: Для решения уравнения \(4 \sin x + \cos 2x = -5\) выполним следующие шаги:

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\)
2. Подставляем \(\cos 2x\) в уравнение: \(4 \sin x + (1 - 2 \sin^2 x) = -5\)
3. Упрощаем уравнение: \(4 \sin x + 1 - 2 \sin^2 x = -5\)
4. Переносим все члены на одну сторону: \(2 \sin^2 x - 4 \sin x - 6 = 0\)
5. Делим все члены на 2: \(\sin^2 x - 2 \sin x - 3 = 0\)
6. Решаем квадратное уравнение для \(\sin x\): Пусть \(y = \sin x\), тогда \(y^2 - 2y - 3 = 0\)
7. Находим корни квадратного уравнения: \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\): \(y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}\)
8. Вычисляем значения \(y\): \(y = \frac{2 + 4}{2} = 3\), \(y = \frac{2 - 4}{2} = -1\)
9. Проверяем значения \(y\) на принадлежность диапазону \([-1, 1]\): \(y = 3\) не принадлежит диапазону, поэтому отбрасываем его. \(y = -1\) принадлежит диапазону, поэтому \(\sin x = -1\)
10. Находим значения \(x\), для которых \(\sin x = -1\): \(x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: \(x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21887: Для решения уравнения \(16 \sin x - 8 \cos 2x + 7 = 0\) выполним следующие шаги:

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\). Подставляем её в уравнение: \[ 16 \sin x - 8 (1 - 2 \sin^2 x) + 7 = 0 \]
2. Раскрываем скобки и упрощаем уравнение: \[ 16 \sin x - 8 + 16 \sin^2 x + 7 = 0 \] \[ 16 \sin^2 x + 16 \sin x - 1 = 0 \]
3. Вводим новую переменную \(y = \sin x\). Тогда уравнение принимает вид: \[ 16 y^2 + 16 y - 1 = 0 \]
4. Решаем квадратное уравнение относительно \(y\). Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 16\), \(b = 16\), \(c = -1\). Подставляем значения: \[ y = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1)}}{2 \cdot 16} \] \[ y = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 64}}{32} \] \[ y = \frac{-16 \pm \sqrt{320}}{32} \] \[ y = \frac{-16 \pm 8\sqrt{5}}{32} \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} \]
5. Получаем два возможных значения для \(y\): \[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}, \quad y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4} \]
6. Возвращаемся к переменной \(\sin x\): \[ \sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4} \]
7. Проверяем, существуют ли такие значения \(x\), чтобы \(\sin x\) принимало эти значения. Заметим, что \(\sin x\) должен находиться в интервале \([-1, 1]\). \[ \frac{-1 - \sqrt{5}}{4} \approx -0.809 \quad \text{(не принадлежит интервалу [-1, 1])} \] \[ \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \approx 0.309 \quad \text{(принадлежит интервалу [-1, 1])} \]
8. Таким образом, возможным значением для \(\sin x\) является: \[ \sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \]
9. Находим значения \(x\), для которых \(\sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}\): \[ x = \arcsin \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x_1 = \arcsin \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \right) + 2k\pi, \quad x_2 = \pi - \arcsin \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21888: Решим уравнение \(8 \cos 2x + 16 \cos x + 7 = 0\) пошагово.

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1\). Подставим её в уравнение: \[ 8 (2 \cos^2 x - 1) + 16 \cos x + 7 = 0 \]
2. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 16 \cos^2 x - 8 + 16 \cos x + 7 = 0 \] \[ 16 \cos^2 x + 16 \cos x - 1 = 0 \]
3. Разделим всё уравнение на 16: \[ \cos^2 x + \cos x - \frac{1}{16} = 0 \]
4. Решим квадратное уравнение относительно \(\cos x\): Пусть \(y = \cos x\). Тогда уравнение примет вид: \[ y^2 + y - \frac{1}{16} = 0 \]
5. Найдём корни квадратного уравнения с помощью формулы квадратного уравнения \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\): \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{16}\right)}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + \frac{1}{4}}}{2} \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{\frac{5}{4}}}{2} \] \[ y = \frac{-1 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}}{2} \] \[ y = \frac{-1 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}}{2} \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{5}}{4} \]
6. Таким образом, корни уравнения: \[ y_1 = \frac{-2 + \sqrt{5}}{4}, \quad y_2 = \frac{-2 - \sqrt{5}}{4} \]
7. Теперь найдём \(x\) для каждого корня: \[ \cos x = \frac{-2 + \sqrt{5}}{4} \quad \text{и} \quad \cos x = \frac{-2 - \sqrt{5}}{4} \]
8. Решим \(\cos x = \frac{-2 + \sqrt{5}}{4}\): \[ x = \pm \arccos \left(\frac{-2 + \sqrt{5}}{4}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
9. Решим \(\cos x = \frac{-2 - \sqrt{5}}{4}\): \[ \cos x = \frac{-2 - \sqrt{5}}{4} \quad \text{не имеет решений, так как} \quad \frac{-2 - \sqrt{5}}{4} \notin [-1, 1] \]

Ответ: \[ x = \pm \arccos \left(\frac{-2 + \sqrt{5}}{4}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21889: Конечно, давайте решить уравнение \(6 \sin^2 x + \cos 2x - 3 = 0\) для \(0^{\circ} < x < 90^{\circ}\) пошагово.

1. Используем формулу для косинуса двойного угла: \(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\)
2. Подставляем \(\cos 2x\) в уравнение: \(6 \sin^2 x + (1 - 2 \sin^2 x) - 3 = 0\)
3. Упрощаем уравнение: \(6 \sin^2 x + 1 - 2 \sin^2 x - 3 = 0\)
4. Комбинируем подобные члены: \(4 \sin^2 x - 2 = 0\)
5. Решаем уравнение относительно \(\sin^2 x\): \(4 \sin^2 x = 2\)
6. Делим обе части на 4: \(\sin^2 x = \frac{1}{2}\)
7. Извлекаем квадратный корень из обеих сторон: \(\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)
8. Рассматриваем значения \(\sin x\) в пределах \(0^{\circ} < x < 90^{\circ}\): \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
9. Находим угол \(x\), для которого \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\): \(x = 45^{\circ}\)

Ответ: \(x = 45^{\circ}\)

Ответ: NaN

Решение №21890: Конечно, давайте решим уравнение \( \cos \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{6} + 1 = 0 \) пошагово. ```html

1. Используем формулу для разности косинусов: \[ \cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A - B}{2} \right) \] В нашем случае \( A = \frac{x}{3} \) и \( B = \frac{x}{6} \).
2. Подставляем \( A \) и \( B \) в формулу: \[ \cos \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{6} = -2 \sin \left( \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{6}}{2} \right) \sin \left( \frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{6}}{2} \right) \]
3. Упрощаем аргументы синусов: \[ \cos \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{6} = -2 \sin \left( \frac{\frac{2x}{6} + \frac{x}{6}}{2} \right) \sin \left( \frac{\frac{2x}{6} - \frac{x}{6}}{2} \right) = -2 \sin \left( \frac{x}{4} \right) \sin \left( \frac{x}{12} \right) \]
4. Подставляем это выражение обратно в уравнение: \[ -2 \sin \left( \frac{x}{4} \right) \sin \left( \frac{x}{12} \right) + 1 = 0 \]
5. Переносим 1 в другую сторону уравнения: \[ -2 \sin \left( \frac{x}{4} \right) \sin \left( \frac{x}{12} \right) = -1 \]
6. Делим обе стороны на -1: \[ 2 \sin \left( \frac{x}{4} \right) \sin \left( \frac{x}{12} \right) = 1 \]
7. Рассматриваем возможные значения \( \sin \left( \frac{x}{4} \right) \) и \( \sin \left( \frac{x}{12} \right) \): \[ \sin \left( \frac{x}{4} \right) = \sin \left( \frac{x}{12} \right) = \pm 1 \]
8. Решаем для \( \sin \left( \frac{x}{4} \right) = 1 \): \[ \frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \] \[ x = 2\pi + 8k\pi \quad \text{или} \quad x = 6\pi + 8k\pi \]
9. Решаем для \( \sin \left( \frac{x}{4} \right) = -1 \): \[ \frac{x}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] \[ x = 6\pi + 8k\pi \quad \text{или} \quad x = 2\pi + 8k\pi \]
10. Решаем для \( \sin \left( \frac{x}{12} \right) = 1 \): \[ \frac{x}{12} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{12} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \] \[ x = 6\pi + 24k\pi \quad \text{или} \quad x = 18\pi + 24k\pi \]
11. Решаем для \( \sin \left( \frac{x}{12} \right) = -1 \): \[ \frac{x}{12} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{12} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] \[ x = 18\pi + 24k\pi \quad \text{или} \quad x = 6\pi + 24k\pi \]

Ответ: \( x = 2\pi + 8k\pi \), \( x = 6\pi + 8k\pi \), \( x = 6\pi + 24k\pi \), \( x = 18\pi + 24k\pi \)

Ответ: NaN

Решение №21891: Для решения уравнения \( \cos\frac{x}{4} + 3\sin\frac{x}{8} = 2.5 \) пошагово, выделяя все пункты в HTML-теги, следуйте этим шагам: ```html

1. Рассмотрим уравнение: \[ \cos\frac{x}{4} + 3\sin\frac{x}{8} = 2.5 \]
2. Заметим, что максимальное значение \(\cos\frac{x}{4}\) равно 1, а максимальное значение \(3\sin\frac{x}{8}\) равно 3. Таким образом, сумма этих значений не может превышать 4: \[ \cos\frac{x}{4} + 3\sin\frac{x}{8} \leq 1 + 3 = 4 \]
3. Следовательно, уравнение \( \cos\frac{x}{4} + 3\sin\frac{x}{8} = 2.5 \) не может быть выполнено, так как 2.5 находится вне допустимого диапазона значений для суммы \(\cos\frac{x}{4}\) и \(3\sin\frac{x}{8}\).

Ответ: Нет решений.

Ответ: NaN

Решение №21892: Решим уравнение \(1 - \sqrt{3} \sin x = \cos(2\pi - 2x)\) на интервале \(\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]\).

1. Используем тригонометрическое тождество для косинуса: \(\cos(2\pi - 2x) = \cos(2x)\)
2. Подставляем это тождество в уравнение: \(1 - \sqrt{3} \sin x = \cos(2x)\)
3. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x\)
4. Подставляем \(\cos(2x)\) в уравнение: \(1 - \sqrt{3} \sin x = 1 - 2\sin^2 x\)
5. Упрощаем уравнение: \(\sqrt{3} \sin x = 2\sin^2 x\)
6. Выносим \(\sin x\) за скобки: \(\sin x(2\sin x - \sqrt{3}) = 0\)
7. Рассматриваем два случая:
   1. \(\sin x = 0\): \(x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
   2. \(2\sin x - \sqrt{3} = 0\): \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
8. Решаем \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
9. Определяем решения на интервале \(\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]\):
   1. \(\sin x = 0\): \(x = 0, \quad x = \pi\)
   2. \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \(x = \frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{2\pi}{3}\)
10. Подсчитываем количество корней: \(x = 0, \quad x = \pi, \quad x = \frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{2\pi}{3}\)

Ответ: 4 корня

Ответ: NaN

Решение №21893: Решим уравнение \(3 + 5 \sin 2x = \cos 4x\) пошагово.

1. Перепишем уравнение: \(3 + 5 \sin 2x = \cos 4x\)
2. Используем тождество для косинуса двойного угла: \(\cos 4x = 1 - 2 \sin^2 2x\). Тогда уравнение принимает вид: \(3 + 5 \sin 2x = 1 - 2 \sin^2 2x\)
3. Перенесём все члены в одну сторону: \(2 \sin^2 2x + 5 \sin 2x + 2 = 0\)
4. Сделаем замену \(u = \sin 2x\). Тогда уравнение становится квадратным: \(2u^2 + 5u + 2 = 0\)
5. Решим квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения: \(u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = 2\). \[ u = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4} \] Получим два корня: \[ u_1 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}, \quad u_2 = \frac{-5 - 3}{4} = -2 \]
6. Рассмотрим оба случая:
   • \(\sin 2x = -\frac{1}{2}\): \[ 2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{5\pi}{12} + k\pi \]
   • \(\sin 2x = -2\): Это невозможно, так как синус не может принимать значения за пределами \([-1, 1]\).
7. Переведём результаты в градусы: \[ x = -\frac{180^\circ}{12} + k \cdot 180^\circ = -15^\circ + k \cdot 180^\circ \] \[ x = -\frac{900^\circ}{12} + k \cdot 180^\circ = -75^\circ + k \cdot 180^\circ \]
8. Найдём наибольший отрицательный корень: \[ \text{Наибольший отрицательный корень:} \quad x = -15^\circ \]

Ответ: \(-15^\circ\)

Ответ: NaN

Решение №21894: Решим уравнение \(2 + \cos 4x - 2\sqrt{2} \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = 0\) пошагово. ```html

1. Используем тригонометрическое тождество для синуса: \(\sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos 2x\). Тогда уравнение принимает вид: \[2 + \cos 4x - 2\sqrt{2} \cos 2x = 0\]
2. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1\). Подставляем это в уравнение: \[2 + (2\cos^2 2x - 1) - 2\sqrt{2} \cos 2x = 0\] Упрощаем: \[2\cos^2 2x - 2\sqrt{2} \cos 2x + 1 = 0\]
3. Заменяем \(\cos 2x\) на \(y\): \[2y^2 - 2\sqrt{2}y + 1 = 0\]
4. Решаем квадратное уравнение относительно \(y\): \[y = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}\] \[y = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8}}{4}\] \[y = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
5. Рассматриваем оба корня: \[y_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad y_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
6. Возвращаемся к \(\cos 2x\): \[\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
7. Решаем уравнение \(\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}\): \[2x = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\] \[x = \pm \frac{\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \(x = \pm \frac{\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21895: Чтобы решить уравнение \( \cos(4x + 2) + 3 \sin(2x + 1) = 2 \), следуем пошаговым действиям:

1. Начнем с замены переменной. Пусть \( y = 2x + 1 \). Тогда уравнение примет вид: \[ \cos(2y) + 3 \sin(y) = 2 \]
2. Используем тригонометрическое тождество для двойного угла: \[ \cos(2y) = 1 - 2 \sin^2(y) \] Подставим это в уравнение: \[ 1 - 2 \sin^2(y) + 3 \sin(y) = 2 \]
3. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 1 - 2 \sin^2(y) + 3 \sin(y) - 2 = 0 \] \[ -2 \sin^2(y) + 3 \sin(y) - 1 = 0 \]
4. Заменим \( \sin(y) \) на \( z \): \[ -2z^2 + 3z - 1 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение относительно \( z \): \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = -2 \), \( b = 3 \), \( c = -1 \). \[ z = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-2)(-1)}}{2(-2)} \] \[ z = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{-4} \] \[ z = \frac{-3 \pm 1}{-4} \] \[ z_1 = \frac{-3 + 1}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \] \[ z_2 = \frac{-3 - 1}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1 \]
6. Теперь вернемся к \( \sin(y) \): \[ \sin(y) = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \sin(y) = 1 \]
7. Решим эти уравнения для \( y \): \[ y = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad y = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2k\pi \] \[ y = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad y = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] \[ y = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \]
8. Вернемся к \( x \): \[ 2x + 1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x + 1 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x + 1 = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] \[ 2x = \frac{\pi}{6} - 1 + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} - 1 + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \frac{\pi}{2} - 1 + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{12} - \frac{1}{2} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{12} - \frac{1}{2} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + k\pi \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{12} - \frac{1}{2} + k\pi \), \( x = \frac{5\pi}{12} - \frac{1}{2} + k\pi \), \( x = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + k\pi \)

Ответ: NaN

Решение №21896:

1. Заменим \( \tan x \) на \( y \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 2y - 3 = 0 \)
2. Решим квадратное уравнение. Для этого найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)
3. Найдём корни уравнения: \( y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \)
4. Таким образом, получаем два корня: \( y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \) \( y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)
5. Вернёмся к переменной \( \tan x \). Тогда: \( \tan x = 3 \) или \( \tan x = -1 \)
6. Решим уравнение \( \tan x = 3 \): \( x = \arctan(3) \)
7. Решим уравнение \( \tan x = -1 \): \( x = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \)
8. Определим, какие из этих решений удовлетворяют условию \( -90^{\circ} < x < 0^{\circ} \): \( \arctan(3) \) не удовлетворяет условию, так как \( \arctan(3) \) положительно. \( -\frac{\pi}{4} \) удовлетворяет условию.
9. Таким образом, единственное решение уравнения: \( x = -\frac{\pi}{4} \)

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{4} \)

Ответ: NaN

Решение №21897: Конечно, давайте решим уравнение \( \tan^2 x + \tan x - 2 = 0 \) пошагово.

1. Заменим \(\tan x\) на новую переменную \(t\): \[ t = \tan x \] Тогда уравнение принимает вид: \[ t^2 + t - 2 = 0 \]
2. Решим квадратное уравнение \(t^2 + t - 2 = 0\): \[ t^2 + t - 2 = 0 \] Для этого найдём дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]
3. Поскольку \(D > 0\), у уравнения два корня: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] То есть: \[ t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \]
4. Теперь вернёмся к переменной \(x\): \[ \tan x = 1 \quad \text{или} \quad \tan x = -2 \]
5. Решим уравнение \(\tan x = 1\): \[ x = \arctan(1) + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Решим уравнение \(\tan x = -2\): \[ x = \arctan(-2) + \pi n = -\arctan(2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x_2 = -\arctan(2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21898: Конечно, давайте решим уравнение \(5 \tan x + \cos^{-2} x = 0\) пошагово. ```html

1. Перепишем уравнение в более удобной форме: \[ 5 \tan x + \cos^{-2} x = 0 \] Заметим, что \(\cos^{-2} x = \frac{1}{\cos^2 x}\).
2. Заменим \(\tan x\) на \(\frac{\sin x}{\cos x}\): \[ 5 \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos^2 x} = 0 \]
3. Умножим все слагаемые на \(\cos^2 x\), чтобы избавиться от знаменателей: \[ 5 \sin x \cos x + 1 = 0 \]
4. Используем формулу двойного угла для синуса \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\): \[ 5 \sin 2x + 2 = 0 \]
5. Решим уравнение относительно \(\sin 2x\): \[ \sin 2x = -\frac{2}{5} \]
6. Найдем \(2x\) из уравнения \(\sin 2x = -\frac{2}{5}\): \[ 2x = \arcsin\left(-\frac{2}{5}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \pi - \arcsin\left(-\frac{2}{5}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Разделим на 2, чтобы найти \(x\): \[ x = \frac{1}{2} \arcsin\left(-\frac{2}{5}\right) + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arcsin\left(-\frac{2}{5}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \frac{1}{2} \arcsin\left(-\frac{2}{5}\right) + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arcsin\left(-\frac{2}{5}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21899: Решим уравнение \( \tan \left( \frac{3\pi}{x} - x \right) + 3 \tan x + 4 = 0 \).

1. Введем обозначение \( y = \frac{3\pi}{x} - x \). Тогда уравнение примет вид: \[ \tan y + 3 \tan x + 4 = 0 \]
2. Перепишем уравнение в виде: \[ \tan y = -3 \tan x - 4 \]
3. Теперь рассмотрим два случая:
   • Случай 1: \( \tan x = 0 \)
     • Если \( \tan x = 0 \), то \( x = k\pi \), где \( k \) — целое число.
     • Подставим \( x = k\pi \) в выражение для \( y \): \[ y = \frac{3\pi}{k\pi} - k\pi = \frac{3}{k} - k\pi \]
     • Тогда \( \tan y = \tan \left( \frac{3}{k} - k\pi \right) \).
     • Поскольку \( \tan y = -4 \), мы должны найти \( k \), чтобы это уравнение выполнялось. Однако, это не простое уравнение для решения аналитически, и требует численных методов или более глубокого анализа.
   • Случай 2: \( \tan x \neq 0 \)
     • Рассмотрим уравнение \( \tan y = -3 \tan x - 4 \).
     • Подставим \( y = \frac{3\pi}{x} - x \) и решим уравнение относительно \( x \).
     • Это уравнение также требует численных методов или графического анализа для нахождения решений.
4. Заключение:

   Уравнение \( \tan \left( \frac{3\pi}{x} - x \right) + 3 \tan x + 4 = 0 \) требует численных методов или графического анализа для нахождения точных решений. Аналитическое решение в общем виде сложно получить.

Ответ: Решение требует численных методов или графического анализа.

Ответ: NaN

Решение №21900:

1. Перепишем исходное уравнение \( \tan^2 x = 12 \cos^2 x \). Используем тождество для тангенса: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \implies \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \] Тогда уравнение принимает вид: \[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 12 \cos^2 x \]
2. Умножим обе части уравнения на \(\cos^2 x\): \[ \sin^2 x = 12 \cos^4 x \]
3. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ 1 - \cos^2 x = 12 \cos^4 x \]
4. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 12 \cos^4 x + \cos^2 x - 1 = 0 \]
5. Введем замену \( t = \cos^2 x \). Тогда уравнение преобразуется в квадратное уравнение: \[ 12 t^2 + t - 1 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение методом дискриминанта. Для уравнения \( at^2 + bt + c = 0 \) дискриминант \( D \) определяется как: \[ D = b^2 - 4ac \] В нашем случае \( a = 12 \), \( b = 1 \), \( c = -1 \): \[ D = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49 \]
7. Найдем корни уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{24} = \frac{-1 \pm 7}{24} \] Тогда: \[ t_1 = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}, \quad t_2 = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3} \]
8. Так как \( t = \cos^2 x \geq 0 \), отбросим отрицательное значение \( t_2 = -\frac{1}{3} \). Остается \( t_1 = \frac{1}{4} \): \[ \cos^2 x = \frac{1}{4} \implies \cos x = \pm \frac{1}{2} \]
9. Найдем \( x \): \[ \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN

Решение №21901: Конечно, давайте решим уравнение пошагово: \[ \cos^2 x + 20 \cos^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \left( x + \frac{137 \pi}{2} \right) + 3 \sin \left( x - \frac{3 \pi}{2} \right) = 3 \]

1. Используем свойство периодичности тригонометрических функций: \[ \cos^2 \left( x + \frac{137 \pi}{2} \right) = \cos^2 \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \] и \[ \sin \left( x - \frac{3 \pi}{2} \right) = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \]
2. Применяем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \sin^2 x$ и $\sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \cos x$: \[ \cos^2 x + 20 \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 x + 3 \cos x = 3 \]
3. Используем формулу двойного угла для косинуса: \[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \] и \[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \]
4. Подставляем эти выражения в уравнение: \[ \frac{1 + \cos 2x}{2} + 20 \cos^2 \frac{x}{2} - \frac{1 - \cos 2x}{2} + 3 \cos x = 3 \]
5. Упрощаем выражение: \[ \frac{1 + \cos 2x}{2} + 20 \cos^2 \frac{x}{2} - \frac{1 - \cos 2x}{2} + 3 \cos x = 3 \] \[ \frac{1 + \cos 2x - 1 + \cos 2x}{2} + 20 \cos^2 \frac{x}{2} + 3 \cos x = 3 \] \[ \cos 2x + 20 \cos^2 \frac{x}{2} + 3 \cos x = 3 \]
6. Используем формулу двойного угла для косинуса: \[ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \]
7. Подставляем это выражение в уравнение: \[ 2 \cos^2 x - 1 + 20 \cos^2 \frac{x}{2} + 3 \cos x = 3 \]
8. Используем основное тригонометрическое тождество для $\cos^2 \frac{x}{2}$: \[ \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} \]
9. Подставляем это выражение в уравнение: \[ 2 \cos^2 x - 1 + 20 \left( \frac{1 + \cos x}{2} \right) + 3 \cos x = 3 \] \[ 2 \cos^2 x - 1 + 10 (1 + \cos x) + 3 \cos x = 3 \] \[ 2 \cos^2 x - 1 + 10 + 10 \cos x + 3 \cos x = 3 \] \[ 2 \cos^2 x + 13 \cos x + 9 = 3 \]
10. Переносим все члены в одну сторону: \[ 2 \cos^2 x + 13 \cos x + 6 = 0 \]
11. Решаем квадратное уравнение относительно $\cos x$: \[ \cos x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 2\), \(b = 13\), и \(c = 6\): \[ \cos x = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2} \] \[ \cos x = \frac{-13 \pm \sqrt{169 - 48}}{4} \] \[ \cos x = \frac{-13 \pm \sqrt{121}}{4} \] \[ \cos x = \frac{-13 \pm 11}{4} \] \[ \cos x = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \cos x = \frac{-24}{4} = -6 \]
12. Отбрасываем невозможное значение $\cos x = -6$, так как значение косинуса лежит в диапазоне \([-1, 1]\): \[ \cos x = -\frac{1}{2} \]
13. Находим значения $x$, для которых $\cos x = -\frac{1}{2}$: \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: NaN

Решение №21902: Решим уравнение \(3 \operatorname{tg} x - 2 \cos x = 0\) пошагово: ```html

1. Запишем исходное уравнение: \(3 \operatorname{tg} x - 2 \cos x = 0\)
2. Выразим \(\operatorname{tg} x\) через \(\sin x\) и \(\cos x\): \(\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}\), подставим это в уравнение: \(3 \frac{\sin x}{\cos x} - 2 \cos x = 0\)
3. Умножим обе части уравнения на \(\cos x\) (предполагая, что \(\cos x \neq 0\)): \(3 \sin x - 2 \cos^2 x = 0\)
4. Используем основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\): \(3 \sin x - 2 (1 - \sin^2 x) = 0\)
5. Упростим уравнение: \(3 \sin x - 2 + 2 \sin^2 x = 0\)
6. Перепишем уравнение в стандартном виде: \(2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0\)
7. Решим квадратное уравнение относительно \(\sin x\): Пусть \(y = \sin x\), тогда: \(2 y^2 + 3 y - 2 = 0\)
8. Найдем дискриминант \(D\) для квадратного уравнения: \(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\)
9. Найдем корни уравнения: \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}\)
10. Получим два корня: \(y_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) \(y_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2\)
11. Вернемся к \(\sin x\): \(\sin x = \frac{1}{2}\) или \(\sin x = -2\)
12. Отбросим \(\sin x = -2\), так как значение синуса не может быть меньше \(-1\) и больше \(1\): \(\sin x = \frac{1}{2}\)
13. Найдем \(x\), используя \(\sin x = \frac{1}{2}\): \(x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: \(x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21903:

1. Изначально уравнение имеет вид: \[ \operatorname{ctg} x - 2 \sqrt{3} \sin x = 0 \]
2. Перепишем котангенс через синус и косинус: \[ \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \] Тогда уравнение становится: \[ \frac{\cos x}{\sin x} - 2 \sqrt{3} \sin x = 0 \]
3. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{\cos x - 2 \sqrt{3} \sin^2 x}{\sin x} = 0 \]
4. Числитель должен быть равен нулю: \[ \cos x - 2 \sqrt{3} \sin^2 x = 0 \]
5. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \] Подставим это в уравнение: \[ \cos x - 2 \sqrt{3} (1 - \cos^2 x) = 0 \]
6. Раскроем скобки и приведем подобные: \[ \cos x - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cos^2 x = 0 \]
7. Перенесем все члены в одну сторону: \[ 2 \sqrt{3} \cos^2 x + \cos x - 2 \sqrt{3} = 0 \]
8. Это квадратное уравнение относительно \(\cos x\). Введем замену \(y = \cos x\): \[ 2 \sqrt{3} y^2 + y - 2 \sqrt{3} = 0 \]
9. Решим квадратное уравнение: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 2 \sqrt{3}\), \(b = 1\), \(c = -2 \sqrt{3}\). Подставим значения: \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \sqrt{3} \cdot (-2 \sqrt{3})}}{2 \cdot 2 \sqrt{3}} \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4 \sqrt{3}} \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4 \sqrt{3}} \] \[ y = \frac{-1 \pm 7}{4 \sqrt{3}} \] \[ y_1 = \frac{6}{4 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ y_2 = \frac{-8}{4 \sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \]
10. Вернемся к переменной \(x\): \[ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{и} \quad \cos x = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \]
11. Решим уравнение \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
12. Решим уравнение \(\cos x = -\frac{2\sqrt{3}}{3}\): \[ x = \pm \arccos\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x_1 = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x_2 = \pm \arccos\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21904: Для решения уравнения \( \tan(x) - 5 \tan\left(x - \frac{5\pi}{2}\right) = 6 \sin\left(\frac{13\pi}{2}\right) \) при \( -\pi \leqslant x \leqslant \pi \), выполним следующие шаги: ```html

1. Упростим \( \sin\left(\frac{13\pi}{2}\right) \): \[ \sin\left(\frac{13\pi}{2}\right) = \sin\left(6\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \]
2. Упростим \( \tan\left(x - \frac{5\pi}{2}\right) \): \[ \tan\left(x - \frac{5\pi}{2}\right) = \tan\left(x - 2\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \tan\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \]
3. Используем тождество для тангенса: \[ \tan\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cot(x) \]
4. Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение: \[ \tan(x) - 5 \left(-\cot(x)\right) = 6 \] \[ \tan(x) + 5 \cot(x) = 6 \]
5. Запишем уравнение в терминах синусов и косинусов: \[ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + 5 \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = 6 \] \[ \frac{\sin^2(x) + 5 \cos^2(x)}{\sin(x) \cos(x)} = 6 \]
6. Умножим обе части уравнения на \( \sin(x) \cos(x) \): \[ \sin^2(x) + 5 \cos^2(x) = 6 \sin(x) \cos(x) \]
7. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \): \[ \sin^2(x) + 5 \cos^2(x) = 6 \sin(x) \cos(x) \] \[ 1 - \cos^2(x) + 5 \cos^2(x) = 6 \sin(x) \cos(x) \] \[ 1 + 4 \cos^2(x) = 6 \sin(x) \cos(x) \]
8. Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения относительно \( \sin(x) \): \[ 1 + 4 \cos^2(x) = 6 \sin(x) \cos(x) \] \[ 1 + 4 (1 - \sin^2(x)) = 6 \sin(x) \cos(x) \] \[ 1 + 4 - 4 \sin^2(x) = 6 \sin(x) \cos(x) \] \[ 5 - 4 \sin^2(x) = 6 \sin(x) \cos(x) \]
9. Рассмотрим два случая: \( \sin(x) = 0 \) и \( \sin(x) \neq 0 \):
   1. Если \( \sin(x) = 0 \): \[ \cos(x) = \pm 1 \] \[ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] В пределах \( -\pi \leqslant x \leqslant \pi \): \[ x = 0, \pm \pi \]
   2. Если \( \sin(x) \neq 0 \): \[ 5 - 4 \sin^2(x) = 6 \sin(x) \cos(x) \] Разделим обе части на \( \cos(x) \): \[ 5 - 4 \sin^2(x) = 6 \sin(x) \] \[ 5 - 4 \sin^2(x) - 6 \sin(x) = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ 4 \sin^2(x) + 6 \sin(x) - 5 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 36 + 80 = 116 \] Найдем корни: \[ \sin(x) = \frac{-6 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 4} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{29}}{8} \] \[ \sin(x) = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{4} \] Так как \( \sin(x) \) должно быть в пределах \([-1, 1]\), ни один из этих корней не подходит.
10. Итак, решениями являются: \[ x = 0, \pm \pi \]

Ответ: \( x = 0, \pm \pi \)

Ответ: NaN

Решение №21905: Конечно, давайте решим уравнение \(4 \sin^4 x + \sin^2 2x = 1\) пошагово.

1. Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), откуда \(\sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x\)
2. Подставляем \(\sin^2 2x\) в исходное уравнение: \(4 \sin^4 x + 4 \sin^2 x \cos^2 x = 1\)
3. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \(4 \sin^4 x + 4 \sin^2 x (1 - \sin^2 x) = 1\)
4. Раскрываем скобки: \(4 \sin^4 x + 4 \sin^2 x - 4 \sin^4 x = 1\)
5. Упрощаем уравнение: \(4 \sin^2 x = 1\)
6. Решаем относительно \(\sin^2 x\): \(\sin^2 x = \frac{1}{4}\)
7. Находим \(\sin x\): \(\sin x = \pm \frac{1}{2}\)
8. Решаем уравнение \(\sin x = \frac{1}{2}\): \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
9. Решаем уравнение \(\sin x = -\frac{1}{2}\): \(x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\), \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), \(x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\), \(x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: NaN

Решение №21906: Для решения уравнения \(8 \sin^4 x + 13 \cos 2x = 7\) выполним следующие шаги: ```html

1. Вспомним, что \(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\). Подставим это в уравнение: \[ 8 \sin^4 x + 13 (1 - 2 \sin^2 x) = 7 \]
2. Раскроем скобки: \[ 8 \sin^4 x + 13 - 26 \sin^2 x = 7 \]
3. Перенесём все члены на одну сторону уравнения: \[ 8 \sin^4 x - 26 \sin^2 x + 13 - 7 = 0 \] \[ 8 \sin^4 x - 26 \sin^2 x + 6 = 0 \]
4. Сделаем замену \(\sin^2 x = y\). Тогда уравнение примет вид: \[ 8 y^2 - 26 y + 6 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение относительно \(y\): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 8\), \(b = -26\), \(c = 6\). \[ y = \frac{26 \pm \sqrt{(-26)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 6}}{2 \cdot 8} \] \[ y = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 192}}{16} \] \[ y = \frac{26 \pm \sqrt{484}}{16} \] \[ y = \frac{26 \pm 22}{16} \] \[ y_1 = \frac{48}{16} = 3, \quad y_2 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \]
6. Так как \(y = \sin^2 x\), то: \[ \sin^2 x = 3 \quad \text{(невозможно, так как } \sin^2 x \leq 1\text{)} \] \[ \sin^2 x = \frac{1}{4} \]
7. Решим уравнение \(\sin^2 x = \frac{1}{4}\): \[ \sin x = \pm \frac{1}{2} \]
8. Найдём \(x\): \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] где \(k\) — целое число.

Ответ: \(x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)

Ответ: NaN

Решение №21907: Для решения уравнения \( \sin^4 x + 5 \cos 2x + 4 = 0 \) на интервале \( 2\pi < x < 4\pi \), выполним следующие шаги:

1. Используем формулу для суммы четвёртых степеней синуса и косинуса: \[ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x) \]
2. Применяем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ \sin^4 x + \cos^4 x = 1^2 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x) = 1 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x) \]
3. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \implies \sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x \]
4. Подставляем \(\sin^2 2x\) в нашу формулу: \[ 2 \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2} \sin^2 2x \] Тогда: \[ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x \]
5. Подставляем это выражение в исходное уравнение: \[ 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x + 5 \cos 2x + 4 = 0 \] Упрощаем: \[ -\frac{1}{2} \sin^2 2x + 5 \cos 2x + 5 = 0 \] \[ \sin^2 2x - 10 \cos 2x - 10 = 0 \]
6. Заменяем \(\sin^2 2x\) на \(1 - \cos^2 2x\): \[ 1 - \cos^2 2x - 10 \cos 2x - 10 = 0 \] \[ \cos^2 2x + 10 \cos 2x + 9 = 0 \]
7. Решаем квадратное уравнение относительно \(\cos 2x\): \[ \cos^2 2x + 10 \cos 2x + 9 = 0 \] Используем формулу квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ \cos 2x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставляем \(a = 1\), \(b = 10\), \(c = 9\): \[ \cos 2x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-10 \pm 8}{2} \] \[ \cos 2x = -1 \quad \text{или} \quad \cos 2x = -9 \] \(\cos 2x = -9\) невозможно, так как \(\cos 2x\) должен быть в интервале \([-1, 1]\).
8. Решаем \(\cos 2x = -1\): \[ 2x = 2\pi k + \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pi k + \frac{\pi}{2} \] Учитывая интервал \(2\pi < x < 4\pi\): \[ x = \frac{5\pi}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{2} \]
9. Находим отношение большего корня к меньшему: \[ \frac{\frac{7\pi}{2}}{\frac{5\pi}{2}} = \frac{7}{5} \]

Ответ: \(\frac{7}{5}\)

Ответ: NaN

Решение №21908: Решим уравнение \(8 \cos^4 x = 11 \cos 2x - 1\) пошагово.

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1\)
2. Перепишем уравнение, подставив \(\cos 2x\): \(8 \cos^4 x = 11 (2 \cos^2 x - 1) - 1\)
3. Раскроем скобки: \(8 \cos^4 x = 22 \cos^2 x - 11 - 1\)
4. Упростим правую часть: \(8 \cos^4 x = 22 \cos^2 x - 12\)
5. Перенесём все члены в левую часть: \(8 \cos^4 x - 22 \cos^2 x + 12 = 0\)
6. Заменим \(\cos^2 x\) на \(y\): \(8 y^2 - 22 y + 12 = 0\)
7. Решим квадратное уравнение: Для этого найдём дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 12 = 484 - 384 = 100 \] Найдём корни уравнения: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 \pm \sqrt{100}}{16} = \frac{22 \pm 10}{16} \] \[ y_1 = \frac{32}{16} = 2, \quad y_2 = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \]
8. Вернёмся к переменной \(\cos^2 x\): \(\cos^2 x = 2\) (невозможно, так как \(\cos^2 x \leq 1\)) \(\cos^2 x = \frac{3}{4}\)
9. Найдём \(\cos x\): \(\cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)
10. Решим уравнение \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \(x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
11. Решим уравнение \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\): \(x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: NaN

Решение №21909: Для решения уравнения \(\frac{4 \operatorname{ctg} x}{1 + \operatorname{ctg}^2 x} + \sin^2 2x + 1 = 0\) следуем пошаговому процессу:

1. Используем тождество для котангенса: \(\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}\) и \(\operatorname{ctg}^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\).
2. Переписываем исходное уравнение: \(\frac{4 \frac{\cos x}{\sin x}}{1 + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}} + \sin^2 2x + 1 = 0\).
3. Упрощаем знаменатель: \(\frac{4 \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x}} = \frac{4 \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\sin^2 x}} = 4 \cos x \sin x\).
4. Подставляем в уравнение: \(4 \cos x \sin x + \sin^2 2x + 1 = 0\).
5. Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), откуда \(\sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x\).
6. Подставляем \(\sin 2x\) в уравнение: \(4 \cos x \sin x + 4 \sin^2 x \cos^2 x + 1 = 0\).
7. Упрощаем уравнение: \(2 \sin 2x + \sin^2 2x + 1 = 0\).
8. Переписываем уравнение: \(\sin^2 2x + 2 \sin 2x + 1 = 0\).
9. Заметим, что это квадратное уравнение относительно \(\sin 2x\): \((\sin 2x + 1)^2 = 0\).
10. Решаем уравнение: \(\sin 2x + 1 = 0\), откуда \(\sin 2x = -1\).
11. Находим общее решение для \(\sin 2x = -1\): \(2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
12. Решаем относительно \(x\): \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi k = \frac{\pi}{4}(4k - 1)\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(x = \frac{\pi}{4}(4k - 1)\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

Ответ: NaN

Решение №21910:

1. Начнём с замены переменной. Пусть \( t = \sin x \). Тогда \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2t^2 \) и \( \cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1 - t^2}{t^2} \).
2. Подставляем эти выражения в исходное уравнение: \[ (1 - 2t^2 - 1) \cdot \frac{1 - t^2}{t^2} = -3t \] Упрощаем: \[ -2t^2 \cdot \frac{1 - t^2}{t^2} = -3t \]
3. Умножаем обе части уравнения на \( t^2 \) (предполагая, что \( t \neq 0 \)): \[ -2t^2 (1 - t^2) = -3t^3 \] Упрощаем: \[ -2t^2 + 2t^4 = -3t^3 \]
4. Переносим все члены в одну сторону уравнения: \[ 2t^4 - 3t^3 - 2t^2 = 0 \]
5. Выносим общий множитель \( t^2 \): \[ t^2 (2t^2 - 3t - 2) = 0 \]
6. Решаем уравнение \( t^2 = 0 \) и \( 2t^2 - 3t - 2 = 0 \) отдельно:
• \( t^2 = 0 \) даёт \( t = 0 \), что не подходит, так как \( t = \sin x \neq 0 \).
• Решаем квадратное уравнение \( 2t^2 - 3t - 2 = 0 \) с помощью формулы квадратного уравнения \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4} \] Получаем два решения: \[ t = \frac{8}{4} = 2 \quad \text{(не подходит, так как \( \sin x \) не может быть больше 1)} \] \[ t = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]
7. Решение \( t = -\frac{1}{2} \) соответствует \( \sin x = -\frac{1}{2} \).
8. Находим \( x \): \[ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: NaN

Решение №21911: Конечно, давайте решим уравнение \(2 \cos 2x = \sin^2 2x (1 + \tan^2 x)\) для \(90^\circ < x < 180^\circ\) пошагово.

1. Начнем с преобразования уравнения: \[ 2 \cos 2x = \sin^2 2x (1 + \tan^2 x) \]
2. Используем тождество \(\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\): \[ 1 + \tan^2 x = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \]
3. Подставляем это в уравнение: \[ 2 \cos 2x = \sin^2 2x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \]
4. Используем тождество \(\sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x\): \[ 2 \cos 2x = \frac{4 \sin^2 x \cos^2 x}{\cos^2 x} = 4 \sin^2 x \]
5. Теперь уравнение выглядит так: \[ 2 \cos 2x = 4 \sin^2 x \]
6. Используем тождество \(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\): \[ 2 (1 - 2 \sin^2 x) = 4 \sin^2 x \]
7. Раскрываем скобки: \[ 2 - 4 \sin^2 x = 4 \sin^2 x \]
8. Переносим все члены с \(\sin^2 x\) в одну сторону: \[ 2 = 8 \sin^2 x \]
9. Делим на 8: \[ \sin^2 x = \frac{1}{4} \]
10. Извлекаем корень: \[ \sin x = \pm \frac{1}{2} \]
11. Учитываем условие \(90^\circ < x < 180^\circ\). В этом диапазоне \(\sin x = \frac{1}{2}\) достигается при \(x = 150^\circ\): \[ x = 150^\circ \]

Ответ: \(x = 150^\circ\)

Ответ: NaN