Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(cos\frac{x}{3}-cos\frac{x}{6}+1=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21890:

Конечно, давайте решим уравнение \( \cos \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{6} + 1 = 0 \) пошагово. ```html

1. Используем формулу для разности косинусов: \[ \cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A - B}{2} \right) \] В нашем случае \( A = \frac{x}{3} \) и \( B = \frac{x}{6} \).
2. Подставляем \( A \) и \( B \) в формулу: \[ \cos \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{6} = -2 \sin \left( \frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{6}}{2} \right) \sin \left( \frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{6}}{2} \right) \]
3. Упрощаем аргументы синусов: \[ \cos \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{6} = -2 \sin \left( \frac{\frac{2x}{6} + \frac{x}{6}}{2} \right) \sin \left( \frac{\frac{2x}{6} - \frac{x}{6}}{2} \right) = -2 \sin \left( \frac{x}{4} \right) \sin \left( \frac{x}{12} \right) \]
4. Подставляем это выражение обратно в уравнение: \[ -2 \sin \left( \frac{x}{4} \right) \sin \left( \frac{x}{12} \right) + 1 = 0 \]
5. Переносим 1 в другую сторону уравнения: \[ -2 \sin \left( \frac{x}{4} \right) \sin \left( \frac{x}{12} \right) = -1 \]
6. Делим обе стороны на -1: \[ 2 \sin \left( \frac{x}{4} \right) \sin \left( \frac{x}{12} \right) = 1 \]
7. Рассматриваем возможные значения \( \sin \left( \frac{x}{4} \right) \) и \( \sin \left( \frac{x}{12} \right) \): \[ \sin \left( \frac{x}{4} \right) = \sin \left( \frac{x}{12} \right) = \pm 1 \]
8. Решаем для \( \sin \left( \frac{x}{4} \right) = 1 \): \[ \frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \] \[ x = 2\pi + 8k\pi \quad \text{или} \quad x = 6\pi + 8k\pi \]
9. Решаем для \( \sin \left( \frac{x}{4} \right) = -1 \): \[ \frac{x}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] \[ x = 6\pi + 8k\pi \quad \text{или} \quad x = 2\pi + 8k\pi \]
10. Решаем для \( \sin \left( \frac{x}{12} \right) = 1 \): \[ \frac{x}{12} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{12} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \] \[ x = 6\pi + 24k\pi \quad \text{или} \quad x = 18\pi + 24k\pi \]
11. Решаем для \( \sin \left( \frac{x}{12} \right) = -1 \): \[ \frac{x}{12} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{12} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] \[ x = 18\pi + 24k\pi \quad \text{или} \quad x = 6\pi + 24k\pi \]

Ответ: \( x = 2\pi + 8k\pi \), \( x = 6\pi + 8k\pi \), \( x = 6\pi + 24k\pi \), \( x = 18\pi + 24k\pi \)

``` Таким образом, решения уравнения \( \cos \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{6} + 1 = 0 \) являются \( x = 2\pi + 8k\pi \), \( x = 6\pi + 8k\pi \), \( x = 6\pi + 24k\pi \), \( x = 18\pi + 24k\pi \).