Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(8sin^{4}x+13cos2x=7\)

Ответ

NaN

Решение № 21906:

Для решения уравнения \(8 \sin^4 x + 13 \cos 2x = 7\) выполним следующие шаги: ```html

1. Вспомним, что \(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\). Подставим это в уравнение: \[ 8 \sin^4 x + 13 (1 - 2 \sin^2 x) = 7 \]
2. Раскроем скобки: \[ 8 \sin^4 x + 13 - 26 \sin^2 x = 7 \]
3. Перенесём все члены на одну сторону уравнения: \[ 8 \sin^4 x - 26 \sin^2 x + 13 - 7 = 0 \] \[ 8 \sin^4 x - 26 \sin^2 x + 6 = 0 \]
4. Сделаем замену \(\sin^2 x = y\). Тогда уравнение примет вид: \[ 8 y^2 - 26 y + 6 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение относительно \(y\): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 8\), \(b = -26\), \(c = 6\). \[ y = \frac{26 \pm \sqrt{(-26)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 6}}{2 \cdot 8} \] \[ y = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 192}}{16} \] \[ y = \frac{26 \pm \sqrt{484}}{16} \] \[ y = \frac{26 \pm 22}{16} \] \[ y_1 = \frac{48}{16} = 3, \quad y_2 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \]
6. Так как \(y = \sin^2 x\), то: \[ \sin^2 x = 3 \quad \text{(невозможно, так как } \sin^2 x \leq 1\text{)} \] \[ \sin^2 x = \frac{1}{4} \]
7. Решим уравнение \(\sin^2 x = \frac{1}{4}\): \[ \sin x = \pm \frac{1}{2} \]
8. Найдём \(x\): \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] где \(k\) — целое число.

Ответ: \(x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)

```