Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(tg^{2}x+tgx-2=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21897:

Конечно, давайте решим уравнение \( \tan^2 x + \tan x - 2 = 0 \) пошагово.

1. Заменим \(\tan x\) на новую переменную \(t\): \[ t = \tan x \] Тогда уравнение принимает вид: \[ t^2 + t - 2 = 0 \]
2. Решим квадратное уравнение \(t^2 + t - 2 = 0\): \[ t^2 + t - 2 = 0 \] Для этого найдём дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]
3. Поскольку \(D > 0\), у уравнения два корня: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] То есть: \[ t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \]
4. Теперь вернёмся к переменной \(x\): \[ \tan x = 1 \quad \text{или} \quad \tan x = -2 \]
5. Решим уравнение \(\tan x = 1\): \[ x = \arctan(1) + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Решим уравнение \(\tan x = -2\): \[ x = \arctan(-2) + \pi n = -\arctan(2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x_2 = -\arctan(2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]