Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(tgx-5tg\left ( x-\frac{5\pi }{2} \right )=6sin\frac{13\pi }{2}, -\pi \leqslant x\leqslant \pi \)

Ответ

NaN

Решение № 21904:

Для решения уравнения \( \tan(x) - 5 \tan\left(x - \frac{5\pi}{2}\right) = 6 \sin\left(\frac{13\pi}{2}\right) \) при \( -\pi \leqslant x \leqslant \pi \), выполним следующие шаги: ```html

1. Упростим \( \sin\left(\frac{13\pi}{2}\right) \): \[ \sin\left(\frac{13\pi}{2}\right) = \sin\left(6\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \]
2. Упростим \( \tan\left(x - \frac{5\pi}{2}\right) \): \[ \tan\left(x - \frac{5\pi}{2}\right) = \tan\left(x - 2\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \tan\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \]
3. Используем тождество для тангенса: \[ \tan\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cot(x) \]
4. Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение: \[ \tan(x) - 5 \left(-\cot(x)\right) = 6 \] \[ \tan(x) + 5 \cot(x) = 6 \]
5. Запишем уравнение в терминах синусов и косинусов: \[ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + 5 \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = 6 \] \[ \frac{\sin^2(x) + 5 \cos^2(x)}{\sin(x) \cos(x)} = 6 \]
6. Умножим обе части уравнения на \( \sin(x) \cos(x) \): \[ \sin^2(x) + 5 \cos^2(x) = 6 \sin(x) \cos(x) \]
7. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \): \[ \sin^2(x) + 5 \cos^2(x) = 6 \sin(x) \cos(x) \] \[ 1 - \cos^2(x) + 5 \cos^2(x) = 6 \sin(x) \cos(x) \] \[ 1 + 4 \cos^2(x) = 6 \sin(x) \cos(x) \]
8. Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения относительно \( \sin(x) \): \[ 1 + 4 \cos^2(x) = 6 \sin(x) \cos(x) \] \[ 1 + 4 (1 - \sin^2(x)) = 6 \sin(x) \cos(x) \] \[ 1 + 4 - 4 \sin^2(x) = 6 \sin(x) \cos(x) \] \[ 5 - 4 \sin^2(x) = 6 \sin(x) \cos(x) \]
9. Рассмотрим два случая: \( \sin(x) = 0 \) и \( \sin(x) \neq 0 \):
   1. Если \( \sin(x) = 0 \): \[ \cos(x) = \pm 1 \] \[ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] В пределах \( -\pi \leqslant x \leqslant \pi \): \[ x = 0, \pm \pi \]
   2. Если \( \sin(x) \neq 0 \): \[ 5 - 4 \sin^2(x) = 6 \sin(x) \cos(x) \] Разделим обе части на \( \cos(x) \): \[ 5 - 4 \sin^2(x) = 6 \sin(x) \] \[ 5 - 4 \sin^2(x) - 6 \sin(x) = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ 4 \sin^2(x) + 6 \sin(x) - 5 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 36 + 80 = 116 \] Найдем корни: \[ \sin(x) = \frac{-6 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 4} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{29}}{8} \] \[ \sin(x) = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{4} \] Так как \( \sin(x) \) должно быть в пределах \([-1, 1]\), ни один из этих корней не подходит.
10. Итак, решениями являются: \[ x = 0, \pm \pi \]

Ответ: \( x = 0, \pm \pi \)

```