Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(8cos^{4}x=11cos2x-1\)

Ответ

NaN

Решение № 21908:

Решим уравнение \(8 \cos^4 x = 11 \cos 2x - 1\) пошагово.

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: \(\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1\)
2. Перепишем уравнение, подставив \(\cos 2x\): \(8 \cos^4 x = 11 (2 \cos^2 x - 1) - 1\)
3. Раскроем скобки: \(8 \cos^4 x = 22 \cos^2 x - 11 - 1\)
4. Упростим правую часть: \(8 \cos^4 x = 22 \cos^2 x - 12\)
5. Перенесём все члены в левую часть: \(8 \cos^4 x - 22 \cos^2 x + 12 = 0\)
6. Заменим \(\cos^2 x\) на \(y\): \(8 y^2 - 22 y + 12 = 0\)
7. Решим квадратное уравнение: Для этого найдём дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 12 = 484 - 384 = 100 \] Найдём корни уравнения: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 \pm \sqrt{100}}{16} = \frac{22 \pm 10}{16} \] \[ y_1 = \frac{32}{16} = 2, \quad y_2 = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \]
8. Вернёмся к переменной \(\cos^2 x\): \(\cos^2 x = 2\) (невозможно, так как \(\cos^2 x \leq 1\)) \(\cos^2 x = \frac{3}{4}\)
9. Найдём \(\cos x\): \(\cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)
10. Решим уравнение \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \(x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
11. Решим уравнение \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\): \(x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)

Ответ: \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]