Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(sin^{4}x+5cos2x+4=0, 2\pi < x< 4\pi .\) В ответе записать отношение большего корня к меньшему

Ответ

NaN

Решение № 21907:

Для решения уравнения \( \sin^4 x + 5 \cos 2x + 4 = 0 \) на интервале \( 2\pi < x < 4\pi \), выполним следующие шаги:

1. Используем формулу для суммы четвёртых степеней синуса и косинуса: \[ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x) \]
2. Применяем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ \sin^4 x + \cos^4 x = 1^2 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x) = 1 - 2(\sin^2 x)(\cos^2 x) \]
3. Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \implies \sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x \]
4. Подставляем \(\sin^2 2x\) в нашу формулу: \[ 2 \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2} \sin^2 2x \] Тогда: \[ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x \]
5. Подставляем это выражение в исходное уравнение: \[ 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x + 5 \cos 2x + 4 = 0 \] Упрощаем: \[ -\frac{1}{2} \sin^2 2x + 5 \cos 2x + 5 = 0 \] \[ \sin^2 2x - 10 \cos 2x - 10 = 0 \]
6. Заменяем \(\sin^2 2x\) на \(1 - \cos^2 2x\): \[ 1 - \cos^2 2x - 10 \cos 2x - 10 = 0 \] \[ \cos^2 2x + 10 \cos 2x + 9 = 0 \]
7. Решаем квадратное уравнение относительно \(\cos 2x\): \[ \cos^2 2x + 10 \cos 2x + 9 = 0 \] Используем формулу квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ \cos 2x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставляем \(a = 1\), \(b = 10\), \(c = 9\): \[ \cos 2x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-10 \pm 8}{2} \] \[ \cos 2x = -1 \quad \text{или} \quad \cos 2x = -9 \] \(\cos 2x = -9\) невозможно, так как \(\cos 2x\) должен быть в интервале \([-1, 1]\).
8. Решаем \(\cos 2x = -1\): \[ 2x = 2\pi k + \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \pi k + \frac{\pi}{2} \] Учитывая интервал \(2\pi < x < 4\pi\): \[ x = \frac{5\pi}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{2} \]
9. Находим отношение большего корня к меньшему: \[ \frac{\frac{7\pi}{2}}{\frac{5\pi}{2}} = \frac{7}{5} \]

Ответ: \(\frac{7}{5}\)