Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(4sinx+cos2x=-5\)
Ответ
NaN
Решение № 21886:
Для решения уравнения \(4 \sin x + \cos 2x = -5\) выполним следующие шаги:
- Используем формулу двойного угла для косинуса:
\(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\)
- Подставляем \(\cos 2x\) в уравнение:
\(4 \sin x + (1 - 2 \sin^2 x) = -5\)
- Упрощаем уравнение:
\(4 \sin x + 1 - 2 \sin^2 x = -5\)
- Переносим все члены на одну сторону:
\(2 \sin^2 x - 4 \sin x - 6 = 0\)
- Делим все члены на 2:
\(\sin^2 x - 2 \sin x - 3 = 0\)
- Решаем квадратное уравнение для \(\sin x\):
Пусть \(y = \sin x\), тогда \(y^2 - 2y - 3 = 0\)
- Находим корни квадратного уравнения:
\(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\):
\(y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}\)
- Вычисляем значения \(y\):
\(y = \frac{2 + 4}{2} = 3\), \(y = \frac{2 - 4}{2} = -1\)
- Проверяем значения \(y\) на принадлежность диапазону \([-1, 1]\):
\(y = 3\) не принадлежит диапазону, поэтому отбрасываем его.
\(y = -1\) принадлежит диапазону, поэтому \(\sin x = -1\)
- Находим значения \(x\), для которых \(\sin x = -1\):
\(x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
Ответ: \(x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)