Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(2cos^{2}x+5sinx=8.\) Число корней на \([0; 16]\)

Ответ

NaN

Решение № 21885:

Для решения уравнения \(2\cos^2 x + 5\sin x = 8\) на интервале \([0; 16]\), выполним следующие шаги: 1. **Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\):** \[ 2\cos^2 x + 5\sin x = 8 \] Подставляем \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\): \[ 2(1 - \sin^2 x) + 5\sin x = 8 \] Упрощаем: \[ 2 - 2\sin^2 x + 5\sin x = 8 \] Переносим все члены на одну сторону: \[ -2\sin^2 x + 5\sin x + 2 - 8 = 0 \] Упрощаем: \[ -2\sin^2 x + 5\sin x - 6 = 0 \] Умножаем все на \(-1\), чтобы получить стандартное квадратное уравнение: \[ 2\sin^2 x - 5\sin x + 6 = 0 \] 2. **Решаем квадратное уравнение \(2\sin^2 x - 5\sin x + 6 = 0\):** Найдём дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 25 - 48 = -23 \] Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет реальных решений. 3. **Проверяем возможные ошибки и пересчитываем:** Возможно, мы допустили ошибку в преобразованиях. Давайте вернёмся к исходному уравнению и повторим шаги. \[ 2\cos^2 x + 5\sin x = 8 \] Подставляем \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\): \[ 2(1 - \sin^2 x) + 5\sin x = 8 \] Упрощаем: \[ 2 - 2\sin^2 x + 5\sin x = 8 \] Переносим все члены на одну сторону: \[ -2\sin^2 x + 5\sin x + 2 - 8 = 0 \] Упрощаем: \[ -2\sin^2 x + 5\sin x - 6 = 0 \] Умножаем все на \(-1\), чтобы получить стандартное квадратное уравнение: \[ 2\sin^2 x - 5\sin x + 6 = 0 \] 4. **Решаем квадратное уравнение \(2\sin^2 x - 5\sin x + 6 = 0\):** Найдём дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 25 - 48 = -23 \] Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет реальных решений. 5. **Заключение:** Уравнение \(2\cos^2 x + 5\sin x = 8\) не имеет реальных решений на интервале \([0; 16]\).

Ответ: Нет решений.