Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(\frac{4ctgx}{1+ctg^{2}x}+sin^{2}2x+1=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21909:

Для решения уравнения \(\frac{4 \operatorname{ctg} x}{1 + \operatorname{ctg}^2 x} + \sin^2 2x + 1 = 0\) следуем пошаговому процессу:

1. Используем тождество для котангенса: \(\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}\) и \(\operatorname{ctg}^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\).
2. Переписываем исходное уравнение: \(\frac{4 \frac{\cos x}{\sin x}}{1 + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}} + \sin^2 2x + 1 = 0\).
3. Упрощаем знаменатель: \(\frac{4 \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x}} = \frac{4 \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\sin^2 x}} = 4 \cos x \sin x\).
4. Подставляем в уравнение: \(4 \cos x \sin x + \sin^2 2x + 1 = 0\).
5. Используем формулу двойного угла для синуса: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), откуда \(\sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x\).
6. Подставляем \(\sin 2x\) в уравнение: \(4 \cos x \sin x + 4 \sin^2 x \cos^2 x + 1 = 0\).
7. Упрощаем уравнение: \(2 \sin 2x + \sin^2 2x + 1 = 0\).
8. Переписываем уравнение: \(\sin^2 2x + 2 \sin 2x + 1 = 0\).
9. Заметим, что это квадратное уравнение относительно \(\sin 2x\): \((\sin 2x + 1)^2 = 0\).
10. Решаем уравнение: \(\sin 2x + 1 = 0\), откуда \(\sin 2x = -1\).
11. Находим общее решение для \(\sin 2x = -1\): \(2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
12. Решаем относительно \(x\): \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi k = \frac{\pi}{4}(4k - 1)\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(x = \frac{\pi}{4}(4k - 1)\), где \(k \in \mathbb{Z}\).