Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(7sin^{2}6x-8cos6x=7, 45^{0}< x< 90^{0}\)

Ответ

NaN

Решение № 21882:

Решим уравнение \(7 \sin^2 6x - 8 \cos 6x = 7\) для \(45^\circ < x < 90^\circ\) пошагово:

1. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 6x = 1 - \cos^2 6x\): \[ 7 (1 - \cos^2 6x) - 8 \cos 6x = 7 \]
2. Упрощаем уравнение: \[ 7 - 7 \cos^2 6x - 8 \cos 6x = 7 \] \[ -7 \cos^2 6x - 8 \cos 6x = 0 \]
3. Выносим \(\cos 6x\) за скобки: \[ \cos 6x (-7 \cos 6x - 8) = 0 \]
4. Разделяем на два уравнения: \[ \cos 6x = 0 \quad \text{или} \quad -7 \cos 6x - 8 = 0 \]
5. Решаем первое уравнение \(\cos 6x = 0\): \[ 6x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{6} \] Учитывая \(45^\circ < x < 90^\circ\): \[ \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{6} < \frac{\pi}{2} \] Решая неравенство: \[ \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{6} < \frac{\pi}{2} \] \[ \frac{3\pi}{12} < \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{6} < \frac{6\pi}{12} \] \[ 2 < 2k < 5 \] \[ 1 < k < 2.5 \] Единственное целое значение \(k = 2\): \[ x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \]
6. Решаем второе уравнение \(-7 \cos 6x - 8 = 0\): \[ -7 \cos 6x = 8 \] \[ \cos 6x = -\frac{8}{7} \] Это уравнение не имеет решений, так как \(|\cos 6x| \leq 1\).

Ответ: \(x = \frac{\pi}{2}\)