Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(3tgx-2cosx=0\)
Ответ
NaN
Решение № 21902:
Решим уравнение \(3 \operatorname{tg} x - 2 \cos x = 0\) пошагово:
```html
- Запишем исходное уравнение:
\(3 \operatorname{tg} x - 2 \cos x = 0\)
- Выразим \(\operatorname{tg} x\) через \(\sin x\) и \(\cos x\):
\(\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}\), подставим это в уравнение:
\(3 \frac{\sin x}{\cos x} - 2 \cos x = 0\)
- Умножим обе части уравнения на \(\cos x\) (предполагая, что \(\cos x \neq 0\)):
\(3 \sin x - 2 \cos^2 x = 0\)
- Используем основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\):
\(3 \sin x - 2 (1 - \sin^2 x) = 0\)
- Упростим уравнение:
\(3 \sin x - 2 + 2 \sin^2 x = 0\)
- Перепишем уравнение в стандартном виде:
\(2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0\)
- Решим квадратное уравнение относительно \(\sin x\):
Пусть \(y = \sin x\), тогда:
\(2 y^2 + 3 y - 2 = 0\)
- Найдем дискриминант \(D\) для квадратного уравнения:
\(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\)
- Найдем корни уравнения:
\(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}\)
- Получим два корня:
\(y_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
\(y_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2\)
- Вернемся к \(\sin x\):
\(\sin x = \frac{1}{2}\) или \(\sin x = -2\)
- Отбросим \(\sin x = -2\), так как значение синуса не может быть меньше \(-1\) и больше \(1\):
\(\sin x = \frac{1}{2}\)
- Найдем \(x\), используя \(\sin x = \frac{1}{2}\):
\(x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
Ответ: \(x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\)
```