Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(2cos2x=sin^{2}2x(1+tg^{2}x), 90^{0}< x< 180^{0}\)

Ответ

NaN

Решение № 21911:

Конечно, давайте решим уравнение \(2 \cos 2x = \sin^2 2x (1 + \tan^2 x)\) для \(90^\circ < x < 180^\circ\) пошагово.

1. Начнем с преобразования уравнения: \[ 2 \cos 2x = \sin^2 2x (1 + \tan^2 x) \]
2. Используем тождество \(\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\): \[ 1 + \tan^2 x = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \]
3. Подставляем это в уравнение: \[ 2 \cos 2x = \sin^2 2x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \]
4. Используем тождество \(\sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x\): \[ 2 \cos 2x = \frac{4 \sin^2 x \cos^2 x}{\cos^2 x} = 4 \sin^2 x \]
5. Теперь уравнение выглядит так: \[ 2 \cos 2x = 4 \sin^2 x \]
6. Используем тождество \(\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x\): \[ 2 (1 - 2 \sin^2 x) = 4 \sin^2 x \]
7. Раскрываем скобки: \[ 2 - 4 \sin^2 x = 4 \sin^2 x \]
8. Переносим все члены с \(\sin^2 x\) в одну сторону: \[ 2 = 8 \sin^2 x \]
9. Делим на 8: \[ \sin^2 x = \frac{1}{4} \]
10. Извлекаем корень: \[ \sin x = \pm \frac{1}{2} \]
11. Учитываем условие \(90^\circ < x < 180^\circ\). В этом диапазоне \(\sin x = \frac{1}{2}\) достигается при \(x = 150^\circ\): \[ x = 150^\circ \]

Ответ: \(x = 150^\circ\)