Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(8cos2x+16cosx+7=0\)
Ответ
NaN
Решение № 21888:
Решим уравнение \(8 \cos 2x + 16 \cos x + 7 = 0\) пошагово.
- Используем формулу двойного угла для косинуса:
\(\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1\). Подставим её в уравнение:
\[
8 (2 \cos^2 x - 1) + 16 \cos x + 7 = 0
\]
- Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[
16 \cos^2 x - 8 + 16 \cos x + 7 = 0
\]
\[
16 \cos^2 x + 16 \cos x - 1 = 0
\]
- Разделим всё уравнение на 16:
\[
\cos^2 x + \cos x - \frac{1}{16} = 0
\]
- Решим квадратное уравнение относительно \(\cos x\):
Пусть \(y = \cos x\). Тогда уравнение примет вид:
\[
y^2 + y - \frac{1}{16} = 0
\]
- Найдём корни квадратного уравнения с помощью формулы квадратного уравнения \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):
\[
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{16}\right)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + \frac{1}{4}}}{2}
\]
\[
y = \frac{-1 \pm \sqrt{\frac{5}{4}}}{2}
\]
\[
y = \frac{-1 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}}{2}
\]
\[
y = \frac{-1 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}}{2}
\]
\[
y = \frac{-2 \pm \sqrt{5}}{4}
\]
- Таким образом, корни уравнения:
\[
y_1 = \frac{-2 + \sqrt{5}}{4}, \quad y_2 = \frac{-2 - \sqrt{5}}{4}
\]
- Теперь найдём \(x\) для каждого корня:
\[
\cos x = \frac{-2 + \sqrt{5}}{4} \quad \text{и} \quad \cos x = \frac{-2 - \sqrt{5}}{4}
\]
- Решим \(\cos x = \frac{-2 + \sqrt{5}}{4}\):
\[
x = \pm \arccos \left(\frac{-2 + \sqrt{5}}{4}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- Решим \(\cos x = \frac{-2 - \sqrt{5}}{4}\):
\[
\cos x = \frac{-2 - \sqrt{5}}{4} \quad \text{не имеет решений, так как} \quad \frac{-2 - \sqrt{5}}{4} \notin [-1, 1]
\]
Ответ:
\[
x = \pm \arccos \left(\frac{-2 + \sqrt{5}}{4}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]