Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Тригонометрия, тригонометрические уравнения и неравенства, Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших, Уравнения, сводящиеся к квадратным,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Решите уравнение: \(ctgx-2\sqrt{3}sinx=0\)

Ответ

NaN

Решение № 21903:

1. Изначально уравнение имеет вид: \[ \operatorname{ctg} x - 2 \sqrt{3} \sin x = 0 \]
2. Перепишем котангенс через синус и косинус: \[ \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \] Тогда уравнение становится: \[ \frac{\cos x}{\sin x} - 2 \sqrt{3} \sin x = 0 \]
3. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{\cos x - 2 \sqrt{3} \sin^2 x}{\sin x} = 0 \]
4. Числитель должен быть равен нулю: \[ \cos x - 2 \sqrt{3} \sin^2 x = 0 \]
5. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \] Подставим это в уравнение: \[ \cos x - 2 \sqrt{3} (1 - \cos^2 x) = 0 \]
6. Раскроем скобки и приведем подобные: \[ \cos x - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cos^2 x = 0 \]
7. Перенесем все члены в одну сторону: \[ 2 \sqrt{3} \cos^2 x + \cos x - 2 \sqrt{3} = 0 \]
8. Это квадратное уравнение относительно \(\cos x\). Введем замену \(y = \cos x\): \[ 2 \sqrt{3} y^2 + y - 2 \sqrt{3} = 0 \]
9. Решим квадратное уравнение: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 2 \sqrt{3}\), \(b = 1\), \(c = -2 \sqrt{3}\). Подставим значения: \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \sqrt{3} \cdot (-2 \sqrt{3})}}{2 \cdot 2 \sqrt{3}} \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4 \sqrt{3}} \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4 \sqrt{3}} \] \[ y = \frac{-1 \pm 7}{4 \sqrt{3}} \] \[ y_1 = \frac{6}{4 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ y_2 = \frac{-8}{4 \sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \]
10. Вернемся к переменной \(x\): \[ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{и} \quad \cos x = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \]
11. Решим уравнение \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
12. Решим уравнение \(\cos x = -\frac{2\sqrt{3}}{3}\): \[ x = \pm \arccos\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x_1 = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x_2 = \pm \arccos\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]